Дерево интервалов
-
Дерево интервалов
- Древовидная структура данных для хранения интервалов
- Эффективно находит интервалы, пересекающие заданный интервал или точку
- Используется для оконных запросов
-
Тривиальное решение
- Посещение каждого интервала и проверка пересечения
- Время выполнения O(n)
-
Интервальные деревья
- Время запроса O(log n + m)
- Начальное время создания O(n log n)
- Ограниченное потребление памяти O(n)
- Динамические вставки и удаления в O(log n)
-
Центрированное дерево интервалов
- Время создания O(n log n)
- Время хранения O(n)
- Построение: деление диапазона на три части, хранение интервалов в отдельной структуре данных
-
Поиск интервалов
- Обход дерева с рекурсивным алгоритмом
- Сравнение точки запроса с центральной точкой
- Поиск интервалов, пересекающих центральную точку
-
Поиск интервалов с интервалом
- Использование дерева поиска для нахождения интервалов с начальной и конечной точками внутри интервала запроса
- Поиск интервалов, охватывающих интервал запроса
-
Обобщение на более высокие размеры
- Дерево диапазонов в N измерений
- Эффективное извлечение интервалов с начальной и конечной точками внутри области запроса
- Создание N интервальных деревьев и запрос по каждой оси, пересекающей область запроса
-
Интервальные деревья
- Используются для эффективного поиска точек в многомерных пространствах.
- Каждый узел хранит интервалы, перекрывающие его центральную точку.
- Удаление интервалов требует сложных операций, так как узлы могут перекрывать несколько интервалов.
-
Дополненное дерево
- Описано в работе Cormen et al. (2009).
- Требует O(log n) времени для вставки и удаления.
- Каждый узел содержит максимальное верхнее значение интервалов, начиная с этого узла.
-
Запросы о членстве
- Можно избежать ненужных обходов, упорядочив интервалы по нижним и верхним границам.
- Проверка членства требует O(log n) времени.
- Запросы на членство могут быть реализованы с помощью хэш-таблицы.
-
Пример на Java
- Добавление нового интервала: ключ узла — интервал, значение узла — конечная точка интервала.
- Поиск точки или интервала: обход дерева с использованием ключа и высокого значения.
-
Более высокие размеры
- Дополненные деревья могут быть расширены до нескольких измерений.
- Вложенные деревья интервалов: создание дерева для одной координаты, затем добавление деревьев для других координат.
-
Дерево, ориентированное по середине или длине
- Аналогично расширенному дереву, но симметрично.
- В каждом узле хранится минимальное и максимальное значение поддерева.
- Проверка перекрытия выполняется с использованием суммы и разницы.
-
Добавление интервала
- Добавление новых интервалов аналогично дереву бинарного поиска.
- Обновляются минимальные и максимальные значения в вышестоящих узлах.
-
Поиск всех перекрывающихся интервалов
- Проверка перекрытия с поддеревом узла.
- Вычисление минимума для интервалов внутри узла.
- Запрос к двоичной куче для получения минимального значения.
- Прохождение по левому и правому дочерним элементам узла.
-
Рекомендации
- Ссылки на статьи и книги по теме.
-
Стили и форматирование
- Использование различных шрифтов и переносов слов
- Применение различных стилей для цитат и идентификаторов
- Настройка цвета и фона для различных элементов
-
Идентификаторы и значки
- Идентификаторы для различных типов блокировок
- Использование значков для обозначения различных типов блокировок
-
Корпусные и внешние ссылки
- Настройка внешнего вида и цвета для различных элементов
- Использование внешних ссылок для дополнительной информации
-
Библиографическое описание
- Настройка шрифта и веса для библиографического описания
- Использование различных цветовых схем для различных медиа-экранов
-
Примеры реализации
- Примеры реализации деревьев интервалов на различных языках программирования
- Описание различных библиотек и инструментов для работы с деревьями интервалов