Равномерно самый мощный тест
-
Равномерно наиболее мощный тест (UMP)
- Тест гипотезы с наибольшей мощностью 1-β среди всех тестов заданного размера α
- Используется для проверки простых гипотез
-
Установка
- Случайный вектор X из параметризованного семейства функций плотности вероятности
- Пространство параметров Θ разделено на два непересекающихся множества Θ0 и Θ1
- Гипотезы H0 и H1 о принадлежности θ к Θ0 и Θ1 соответственно
-
Формальное определение
- Тестовая функция φ(x) имеет большой размер α, если для любой другой тестовой функции φ'(x) выполняется условие
-
Теорема Карлина–Рубина
- Расширение леммы Неймана–Пирсона для сложных гипотез
- Монотонный неубывающий коэффициент правдоподобия l(x) для скалярного параметра θ
- Пороговый тест является UMP-тестом для тестирования H0: θ ≤ θ0 против H1: θ > θ0
-
Важный случай: экспоненциальное семейство
- Одномерное экспоненциальное семейство функций плотности вероятности с монотонным неубывающим коэффициентом правдоподобия
- Достаточная статистика T(x) при условии, что η(θ) неубывающая
-
Пример
- Нормально распределенные N-мерные случайные векторы с средним значением θm и ковариационной матрицей R
- Тест является UMP-тестом для тестирования H0: θ ⩽ θ0 против H1: θ > θ0
-
Дальнейшее обсуждение
- Тесты UMP не существуют для векторных параметров или двусторонних тестов
- В таких ситуациях наиболее эффективный тест для одного значения параметра отличается от другого
- Ни один тест не является наиболее эффективным в подобных ситуациях