Четвертичная взаимность

• Основы биквадратичной теории чисел

  • Биквадратичная теория чисел — это раздел теории чисел, изучающий свойства чисел в поле комплексных чисел с квадратным корнем из -1. 
  • Гаусс разработал биквадратичную теорию чисел, основываясь на своих исследованиях по теории чисел и теории функций. 

• Основные понятия и определения

  • Гаусс ввел понятие биквадратичного числа, которое является комплексным числом с квадратным корнем из -1. 
  • Биквадратичные числа образуют поле комплексных чисел с квадратным корнем из -1, которое обозначается Z[i]. 
  • Гаусс определил биквадратичные целые числа как числа, которые могут быть выражены как a + bi, где a и b — целые числа. 

• Свойства биквадратичных чисел

  • Биквадратичные целые числа обладают свойствами, аналогичными обычным целым числам, такими как сложение, вычитание, умножение и деление. 
  • Гаусс доказал, что Z[i] является уникальной областью разложения на множители. 
  • Простые числа в Z[i] делятся на три класса: 2, нечетные простые числа в Z[i] и сопряженные простые числа. 

• Факторизация и конгруэнтность

  • Гаусс сформулировал единственную теорему факторизации для Z[i], которая позволяет разложить число на множители. 
  • Конгруэнтность и наибольший общий делитель в Z[i] определены аналогично обычным целым числам. 

• Квадратичная взаимность и биквадратичный символ

  • Гаусс сформулировал закон биквадратичной взаимности, который аналогичен закону квадратичной взаимности для обычных целых чисел. 
  • Биквадратичный символ — это формальное свойство, аналогичное символу Лежандра, которое позволяет выразить биквадратичные числа через их квадратичные корни. 

• Дополнительные теоремы и закон биквадратичной взаимности

  • Существуют дополнительные теоремы и законы биквадратичной взаимности, которые обобщают и уточняют закон биквадратичной взаимности. 
  • Закон биквадратичной взаимности может быть сформулирован без использования понятия первичного числа. 

• Литература и ссылки

  • В статье приведены ссылки на оригинальные статьи Эйлера, Дирихле и Эйзенштейна, а также на работы Гаусса и Эйзенштейна. 
  • Ссылки на статьи Леммермейера и Кокса использованы для подтверждения некоторых утверждений.