Схема замены аксиомы

• Аксиома замены в теории множеств

  • Аксиома замены позволяет заменять элементы множества на другие элементы или множества. 
  • В теории множеств Цермело-Френкеля аксиома замены является ключевой для доказательства существования бесконечных множеств. 
  • Аксиома замены была независимо открыта Френкелем и Сколемом, и Цермело включил ее в свою систему аксиом. 
  • Френкель и Сколем внесли значительный вклад в развитие теории множеств, но Цермело не принял подход Сколема и не оказал значительного влияния на развитие теории множеств после этого. 

• Доказательство аксиомы замены

  • Аксиома замены может быть доказана, если предположить, что множество содержит элемент, подтверждающий аксиому. 
  • В противном случае, если множество пусто, оно удовлетворяет аксиоме замены. 
  • Функциональная нотация используется для описания предиката, который действует как идентичность или константа в зависимости от истинности аксиомы. 
  • Аксиома разделения не является независимой и иногда опускается в современных формулировках, но все еще важна для исторических и сравнительных целей. 

• История аксиомы замены

  • Аксиома замены не была частью первоначальной аксиоматизации Цермело, но была предложена Френкелем и независимо Сколемом. 
  • Цермело и Френкель активно обсуждали аксиому замены в переписке в 1921 году, и Френкель представил свою аксиому в 1922 году. 
  • Сколем представил свою версию аксиомы замены на конгрессе скандинавских математиков в 1923 году, но Цермело не принял его подход. 
  • Аксиома замены стала ключевой для доказательства существования бесконечных множеств в теории множеств Цермело-Френкеля и была включена в систему аксиом Цермело. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.