Алгебра фон Неймана

Оглавление1 Алгебра Фон Неймана1.1 Определение алгебр фон Неймана1.2 История и примеры1.3 Основные свойства1.4 Терминология и классификация1.5 Коммутативные алгебры фон Неймана1.6 […]

Оглавление

Алгебра Фон Неймана

  • Определение алгебр фон Неймана

    • Алгебра фон Неймана (W *-алгебра) — это *-алгебра ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, замкнутая в топологии слабых операторов и содержащая оператор тождества.  
    • Алгебры фон Неймана являются особым типом C*-алгебр.  
  • История и примеры

    • Алгебры фон Неймана были введены Джоном фон Нейманом в 1929 году.  
    • Примеры включают кольцо L∞(R) и алгебру B(H) всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H.  
  • Основные свойства

    • Алгебры фон Неймана замкнуты в нормальной топологии и являются C*-алгебрами.  
    • Алгебры фон Неймана могут быть определены как подалгебры ограниченных операторов, замкнутых относительно инволюции.  
    • Алгебры фон Неймана имеют предуал, уникальный с точностью до изоморфизма.  
  • Терминология и классификация

    • Множитель — это алгебра фон Неймана с тривиальным центром.  
    • Конечная алгебра фон Неймана — это алгебра, являющаяся прямым интегралом от конечных множителей.  
    • Правильно бесконечные алгебры фон Неймана — это прямые интегралы от правильно бесконечных множителей.  
    • Сепарабельная алгебра фон Неймана действует на сепарабельное гильбертово пространство.  
  • Коммутативные алгебры фон Неймана

    • Каждая коммутативная алгебра фон Неймана изоморфна L∞(X) для некоторого пространства мер (X, μ).  
    • Теория алгебр фон Неймана называется некоммутативной теорией меры.  
  • Проекции и подпространства

    • Операторы E в алгебре фон Неймана, для которых E = EE = E *, называются проекциями.  
    • Подпространства гильбертова пространства H принадлежат алгебре фон Неймана M, если они являются изображением некоторой проекции в M.  
    • Замыкание образа любого оператора в M и ядро любого оператора в M принадлежат M.  
  • Теория сравнения проекций

    • Два подпространства, принадлежащие M, называются эквивалентными, если существует частичная изометрия, отображающая одно на другое.  
    • Проекции E и F эквивалентны, если существует частичная изометрия H, отображающая изображение E на изображение F.  
    • Проекции частично упорядочены включением, что приводит к частичному порядку на множестве классов эквивалентности проекций.  
  • Факторы и классификация

    • Алгебра фон Неймана N, центр которой состоит только из кратных оператора тождества, называется множителем.  
    • Каждая алгебра фон Неймана в сепарабельном гильбертовом пространстве изоморфна прямому интегралу от множителей.  
    • Мюррей и фон Нейман показали, что каждый фактор имеет один из 3-х типов.  
  • Классификация типов алгебр фон Неймана

    • Алгебры фон Неймана делятся на типы I, II и III в зависимости от наличия минимальных проекций.  
    • Алгебры типа I изоморфны алгебре ограниченных операторов в гильбертовом пространстве.  
    • Алгебры типа II имеют ненулевые конечные проекции и делятся на типы II1 и II∞.  
    • Алгебры типа III не содержат ненулевых конечных проекций и делятся на типы III0, IIIλ и III1.  
  • Предуальный и его свойства

    • Любая алгебра фон Неймана имеет предуальный, который является банаховым пространством сверхслабо непрерывных линейных функционалов.  
    • Предуальный уникален и характеризует алгебры фон Неймана среди C* алгебр.  
    • Предуальный можно определить без использования гильбертова пространства, используя положительные нормальные линейные функционалы.  
  • Веса, состояния и трассы

    • Вес ω в алгебре фон Неймана — это линейное отображение из положительных элементов в [0,∞].  
    • Положительный линейный функционал — это вес с конечным значением ω(1).  
    • Состояние — это вес с ω(1) = 1.  
    • Трассировка — это вес с ω(aa*) = ω(a*a) для всех a.  
    • Трассировочное состояние — это трассировка с ω(1) = 1.  
  • Модули по множителю

    • Каждому модулю H можно присвоить M-размерность dimM (H), которая является аддитивной.  
    • Модуль называется стандартным, если он имеет циклический разделяющий вектор.  
    • Для конечных множителей стандартный модуль задается конструкцией GNS, для бесконечных — модулем с M-размерностью, равной ∞.  
  • Типы алгебр фон Неймана

    • Стандартный модуль имеет размерность M1 и комплексную размерность n2.  
    • Тип I∞: M-размерность может быть любой в [0, ∞].  
    • Тип II1: M-размерность нормализована, стандартный модуль имеет размерность M 1.  
    • Тип II∞: M-размерность может быть любой в [0, ∞], канонического способа нормализации нет.  
    • Тип III: M-размерность может быть равна 0 или θ, все ненулевые модули изоморфны.  
  • Аменабельные алгебры фон Неймана

    • Коннес доказал эквивалентность различных условий для алгебры фон Неймана.  
    • Допустимые коэффициенты классифицированы, существуют уникальные коэффициенты для каждого типа.  
    • Все допустимые коэффициенты могут быть построены с использованием пространственной конструкции групповых измерений.  
  • Тензорные произведения алгебр фон Неймана

    • Тензорное произведение двух алгебр фон Неймана снова является алгеброй фон Неймана.  
    • Тип тензорного произведения двух алгебр фон Неймана является максимальным из их типов.  
    • Фон Нейман показал, что нужно выбрать состояние для каждой алгебры, чтобы создать гильбертово пространство и алгебру фон Неймана.  
  • Бимодули и подфакторы

    • Бимодуль — это гильбертово пространство с модулями действий двух коммутирующих алгебр фон Неймана.  
    • Бимодули имеют богатую структуру и важны для групповой алгебры фон Неймана.  
    • Теория подфакторов примиряет разные точки зрения на бимодули.  
  • Непреодолимые факторы

    • Алгебры фон Неймана I типа всегда поддаются обработке.  
    • Для других типов существует бесчисленное количество неподдающихся факторов.  
    • Войкулеску показал, что класс неподатливых факторов не пересекается с классом из групповых алгебр фон Неймана свободных групп.  
  • Примеры

    • Существенно ограниченные функции в пространстве σ-конечной меры образуют алгебру фон Неймана типа I1.  
    • Ограниченные операторы в гильбертовом пространстве образуют алгебру фон Неймана типа I.  
    • Групповая алгебра фон Неймана дискретной группы G — это алгебра всех ограниченных операторов, коммутирующих с действием G.  
  • Приложения

    • Алгебры фон Неймана нашли применение в различных областях математики, таких как теория узлов, статистическая механика, квантовая теория поля и другие.  
  • Метод Гельфанда–Наймарка–Сигала

    • Метод аналогичен двум подходам к измерению и интегрированию  
    • Можно сначала построить меры множеств, затем определить интегралы  
    • Можно сначала построить интегралы, затем определить меры множеств как интегралы характеристических функций  
  • AW*-алгебра

    • Алгебраическое обобщение W*-Алгебраических страниц  
    • Отображает описания викиданных в качестве запасного варианта  
  • Центральный носитель

    • Теория Томиты–Такесаки  
    • Математический метод в функциональном анализе  
  • Рекомендации

    • MR0244773  
    • Перевод первой книги об алгебрах фон Неймана  
    • Незавершенные заметки из курса  
  • Исторический отчет об открытии алгебр фон Неймана

    • Основные свойства и разделение на типы I, II и III  
    • Найдены факторы, не относящиеся к типу I  
  • Продолжение предыдущей статьи

    • Свойства следа фактора  
    • Изоморфизм факторов  
    • Все приблизительно конечные факторы типа II1 изоморфны  
  • Оригинальная статья об алгебрах фон Неймана

    • Сверхпрочная топология  
    • Бесконечные тензорные произведения гильбертовых пространств  
    • Действующие на них алгебры  
    • Существование факторов III типа  
  • Алгебраические свойства алгебр фон Неймана

    • Топологические свойства могут быть определены алгебраически  
    • Запись алгебры фон Неймана в виде суммы или интеграла множителей  
  • Перепечатки статей фон Неймана

    • Статьи фон Неймана по алгебрам фон Неймана  

Полный текст статьи:

Алгебра фон Неймана

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх