Оглавление
- 1 Алгебра Фон Неймана
- 1.1 Определение алгебр фон Неймана
- 1.2 История и примеры
- 1.3 Основные свойства
- 1.4 Терминология и классификация
- 1.5 Коммутативные алгебры фон Неймана
- 1.6 Проекции и подпространства
- 1.7 Теория сравнения проекций
- 1.8 Факторы и классификация
- 1.9 Классификация типов алгебр фон Неймана
- 1.10 Предуальный и его свойства
- 1.11 Веса, состояния и трассы
- 1.12 Модули по множителю
- 1.13 Типы алгебр фон Неймана
- 1.14 Аменабельные алгебры фон Неймана
- 1.15 Тензорные произведения алгебр фон Неймана
- 1.16 Бимодули и подфакторы
- 1.17 Непреодолимые факторы
- 1.18 Примеры
- 1.19 Приложения
- 1.20 Метод Гельфанда–Наймарка–Сигала
- 1.21 AW*-алгебра
- 1.22 Центральный носитель
- 1.23 Рекомендации
- 1.24 Исторический отчет об открытии алгебр фон Неймана
- 1.25 Продолжение предыдущей статьи
- 1.26 Оригинальная статья об алгебрах фон Неймана
- 1.27 Алгебраические свойства алгебр фон Неймана
- 1.28 Перепечатки статей фон Неймана
- 1.29 Полный текст статьи:
- 2 Алгебра фон Неймана
Алгебра Фон Неймана
-
Определение алгебр фон Неймана
- Алгебра фон Неймана (W *-алгебра) — это *-алгебра ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, замкнутая в топологии слабых операторов и содержащая оператор тождества.
- Алгебры фон Неймана являются особым типом C*-алгебр.
-
История и примеры
- Алгебры фон Неймана были введены Джоном фон Нейманом в 1929 году.
- Примеры включают кольцо L∞(R) и алгебру B(H) всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H.
-
Основные свойства
- Алгебры фон Неймана замкнуты в нормальной топологии и являются C*-алгебрами.
- Алгебры фон Неймана могут быть определены как подалгебры ограниченных операторов, замкнутых относительно инволюции.
- Алгебры фон Неймана имеют предуал, уникальный с точностью до изоморфизма.
-
Терминология и классификация
- Множитель — это алгебра фон Неймана с тривиальным центром.
- Конечная алгебра фон Неймана — это алгебра, являющаяся прямым интегралом от конечных множителей.
- Правильно бесконечные алгебры фон Неймана — это прямые интегралы от правильно бесконечных множителей.
- Сепарабельная алгебра фон Неймана действует на сепарабельное гильбертово пространство.
-
Коммутативные алгебры фон Неймана
- Каждая коммутативная алгебра фон Неймана изоморфна L∞(X) для некоторого пространства мер (X, μ).
- Теория алгебр фон Неймана называется некоммутативной теорией меры.
-
Проекции и подпространства
- Операторы E в алгебре фон Неймана, для которых E = EE = E *, называются проекциями.
- Подпространства гильбертова пространства H принадлежат алгебре фон Неймана M, если они являются изображением некоторой проекции в M.
- Замыкание образа любого оператора в M и ядро любого оператора в M принадлежат M.
-
Теория сравнения проекций
- Два подпространства, принадлежащие M, называются эквивалентными, если существует частичная изометрия, отображающая одно на другое.
- Проекции E и F эквивалентны, если существует частичная изометрия H, отображающая изображение E на изображение F.
- Проекции частично упорядочены включением, что приводит к частичному порядку на множестве классов эквивалентности проекций.
-
Факторы и классификация
- Алгебра фон Неймана N, центр которой состоит только из кратных оператора тождества, называется множителем.
- Каждая алгебра фон Неймана в сепарабельном гильбертовом пространстве изоморфна прямому интегралу от множителей.
- Мюррей и фон Нейман показали, что каждый фактор имеет один из 3-х типов.
-
Классификация типов алгебр фон Неймана
- Алгебры фон Неймана делятся на типы I, II и III в зависимости от наличия минимальных проекций.
- Алгебры типа I изоморфны алгебре ограниченных операторов в гильбертовом пространстве.
- Алгебры типа II имеют ненулевые конечные проекции и делятся на типы II1 и II∞.
- Алгебры типа III не содержат ненулевых конечных проекций и делятся на типы III0, IIIλ и III1.
-
Предуальный и его свойства
- Любая алгебра фон Неймана имеет предуальный, который является банаховым пространством сверхслабо непрерывных линейных функционалов.
- Предуальный уникален и характеризует алгебры фон Неймана среди C* алгебр.
- Предуальный можно определить без использования гильбертова пространства, используя положительные нормальные линейные функционалы.
-
Веса, состояния и трассы
- Вес ω в алгебре фон Неймана — это линейное отображение из положительных элементов в [0,∞].
- Положительный линейный функционал — это вес с конечным значением ω(1).
- Состояние — это вес с ω(1) = 1.
- Трассировка — это вес с ω(aa*) = ω(a*a) для всех a.
- Трассировочное состояние — это трассировка с ω(1) = 1.
-
Модули по множителю
- Каждому модулю H можно присвоить M-размерность dimM (H), которая является аддитивной.
- Модуль называется стандартным, если он имеет циклический разделяющий вектор.
- Для конечных множителей стандартный модуль задается конструкцией GNS, для бесконечных — модулем с M-размерностью, равной ∞.
-
Типы алгебр фон Неймана
- Стандартный модуль имеет размерность M1 и комплексную размерность n2.
- Тип I∞: M-размерность может быть любой в [0, ∞].
- Тип II1: M-размерность нормализована, стандартный модуль имеет размерность M 1.
- Тип II∞: M-размерность может быть любой в [0, ∞], канонического способа нормализации нет.
- Тип III: M-размерность может быть равна 0 или θ, все ненулевые модули изоморфны.
-
Аменабельные алгебры фон Неймана
- Коннес доказал эквивалентность различных условий для алгебры фон Неймана.
- Допустимые коэффициенты классифицированы, существуют уникальные коэффициенты для каждого типа.
- Все допустимые коэффициенты могут быть построены с использованием пространственной конструкции групповых измерений.
-
Тензорные произведения алгебр фон Неймана
- Тензорное произведение двух алгебр фон Неймана снова является алгеброй фон Неймана.
- Тип тензорного произведения двух алгебр фон Неймана является максимальным из их типов.
- Фон Нейман показал, что нужно выбрать состояние для каждой алгебры, чтобы создать гильбертово пространство и алгебру фон Неймана.
-
Бимодули и подфакторы
- Бимодуль — это гильбертово пространство с модулями действий двух коммутирующих алгебр фон Неймана.
- Бимодули имеют богатую структуру и важны для групповой алгебры фон Неймана.
- Теория подфакторов примиряет разные точки зрения на бимодули.
-
Непреодолимые факторы
- Алгебры фон Неймана I типа всегда поддаются обработке.
- Для других типов существует бесчисленное количество неподдающихся факторов.
- Войкулеску показал, что класс неподатливых факторов не пересекается с классом из групповых алгебр фон Неймана свободных групп.
-
Примеры
- Существенно ограниченные функции в пространстве σ-конечной меры образуют алгебру фон Неймана типа I1.
- Ограниченные операторы в гильбертовом пространстве образуют алгебру фон Неймана типа I.
- Групповая алгебра фон Неймана дискретной группы G — это алгебра всех ограниченных операторов, коммутирующих с действием G.
-
Приложения
- Алгебры фон Неймана нашли применение в различных областях математики, таких как теория узлов, статистическая механика, квантовая теория поля и другие.
-
Метод Гельфанда–Наймарка–Сигала
- Метод аналогичен двум подходам к измерению и интегрированию
- Можно сначала построить меры множеств, затем определить интегралы
- Можно сначала построить интегралы, затем определить меры множеств как интегралы характеристических функций
-
AW*-алгебра
- Алгебраическое обобщение W*-Алгебраических страниц
- Отображает описания викиданных в качестве запасного варианта
-
Центральный носитель
- Теория Томиты–Такесаки
- Математический метод в функциональном анализе
-
Рекомендации
- MR0244773
- Перевод первой книги об алгебрах фон Неймана
- Незавершенные заметки из курса
-
Исторический отчет об открытии алгебр фон Неймана
- Основные свойства и разделение на типы I, II и III
- Найдены факторы, не относящиеся к типу I
-
Продолжение предыдущей статьи
- Свойства следа фактора
- Изоморфизм факторов
- Все приблизительно конечные факторы типа II1 изоморфны
-
Оригинальная статья об алгебрах фон Неймана
- Сверхпрочная топология
- Бесконечные тензорные произведения гильбертовых пространств
- Действующие на них алгебры
- Существование факторов III типа
-
Алгебраические свойства алгебр фон Неймана
- Топологические свойства могут быть определены алгебраически
- Запись алгебры фон Неймана в виде суммы или интеграла множителей
-
Перепечатки статей фон Неймана
- Статьи фон Неймана по алгебрам фон Неймана