Оглавление
- 1 Алгебраическая кривая
- 1.1 Аффинные и проективные алгебраические кривые
- 1.2 Неприводимые и приводимые кривые
- 1.3 Алгебраические кривые как многообразия
- 1.4 Алгебраические кривые в евклидовой геометрии
- 1.5 Плоские проективные кривые
- 1.6 Примечательные точки плоской кривой
- 1.7 Особые точки алгебраических кривых
- 1.8 Асимптоты алгебраических кривых
- 1.9 Аналитическая структура алгебраических кривых
- 1.10 Неплоские алгебраические кривые
- 1.11 Представление неплоских кривых
- 1.12 Бирациональная эквивалентность
- 1.13 Поля алгебраических функций
- 1.14 Сложные кривые и реальные поверхности
- 1.15 Компактные римановы поверхности
- 1.16 Особенности кривых
- 1.17 Особые точки и дельта-инварианты
- 1.18 Род кривой
- 1.19 Примеры кривых
- 1.20 Проективные плоские кривые
- 1.21 Кривые в произведении проективных прямых
- 1.22 Примеры кривых
- 1.23 Полный текст статьи:
- 2 Алгебраическая кривая
Алгебраическая кривая
-
Аффинные и проективные алгебраические кривые
- Аффинная алгебраическая кривая — нулевое множество многочлена от двух переменных.
- Проективная алгебраическая кривая — нулевое множество однородного многочлена от трех переменных.
- Аффинную кривую можно преобразовать в проективную путем гомогенизации.
- Проективную кривую можно ограничить аффинной кривой.
-
Неприводимые и приводимые кривые
- Неприводимая кривая — кривая, определяемая неприводимым многочленом.
- Приводимая кривая — кривая, состоящая из неприводимых кривых.
-
Алгебраические кривые как многообразия
- Алгебраическая кривая — алгебраическое многообразие размерности один.
- Бирациональная эквивалентность сводит изучение алгебраических кривых к изучению плоских кривых.
- Некоторые свойства кривых не поддаются бирациональной эквивалентности.
-
Алгебраические кривые в евклидовой геометрии
- Алгебраическая кривая на евклидовой плоскости — множество точек, удовлетворяющих полиномиальному уравнению.
- Кривая может быть разложена на гладкие монотонные дуги и узлы.
- Важно знать примечательные точки и их касательные для рисования кривой.
-
Плоские проективные кривые
- Проективная кривая — множество точек в проективной плоскости, удовлетворяющих однородному многочлену.
- Аффинная кривая может быть преобразована в проективную путем гомогенизации.
- Проективные кривые полезны для изучения аффинных кривых.
-
Примечательные точки плоской кривой
- Пересечение кривой с линией полезно для построения кривой.
- Теорема Безу утверждает, что кривая пересекает прямую не более чем в d точках.
- Касательная в точке кривой определяется производными многочлена.
- Особые точки — точки, где касательная не определена.
-
Особые точки алгебраических кривых
- Особые точки определяются как решения системы уравнений, где производные по всем трем координатам равны нулю.
- В нулевой характеристике система эквивалентна производным по одной координате.
- Число особых точек конечно и не превышает (d − 1)2 для приводимых многочленов и (d − 1)(d − 2)/2 для неприводимых.
-
Асимптоты алгебраических кривых
- Каждая бесконечная ветвь кривой соответствует точке на бесконечности, которая является касательной к кривой.
- Асимптота определяется как касательная к кривой в точке на бесконечности.
- Асимптоты могут быть параболическими или иметь несколько асимптот.
-
Аналитическая структура алгебраических кривых
- Вблизи особой точки кривая представляет собой объединение конечного числа ветвей.
- Вблизи обычной точки одна из координат выражается как аналитическая функция другой.
- Вблизи особой точки используются ряды Пюизе для описания ветвей.
-
Неплоские алгебраические кривые
- Алгебраическая кривая определяется как алгебраическая разновидность размерности один.
- Для определения кривой требуется n − 1 многочленов от n переменных, генерирующих простой идеал размерности Крулля 1.
-
Представление неплоских кривых
- Неплоские кривые могут быть представлены через многочлены f, g0, g3, …, gn.
- Точки в аффинном пространстве удовлетворяют уравнениям и неравенствам, определяющим кривую.
- Кривая определяется системой образующих идеального многочлена h.
-
Бирациональная эквивалентность
- Каждая алгебраическая кривая может быть представлена через f.
- Проекция на две первые переменные может потребовать линейного изменения переменных.
- Представление позволяет легко вывести свойства кривой из свойств её плоской проекции.
-
Поля алгебраических функций
- Изучение алгебраических кривых сводится к изучению неприводимых кривых.
- Неприводимые кривые эквивалентны полям алгебраических функций с одной переменной.
- Поле алгебраической функции является расширением поля F, содержащим элемент x, трансцендентный над F.
-
Сложные кривые и реальные поверхности
- Сложная проективная алгебраическая кривая находится в n-мерном комплексном проективном пространстве.
- Алгебраическая кривая над C имеет топологическую размерность два и является поверхностью.
- Род кривой равен (d − 1) (d − 2) /2 − k, где k — число особенностей.
-
Компактные римановы поверхности
- Риманова поверхность — связное комплексное аналитическое многообразие.
- Существует тройная эквивалентность между категориями гладких неприводимых проективных алгебраических кривых, компактных римановых поверхностей и полей алгебраических функций.
-
Особенности кривых
- Точки на алгебраической кривой классифицируются как гладкие или сингулярные.
- Особые точки определяются рангом матрицы Якоби.
- Особые точки включают точки пересечения кривой с собой и различные типы точек пересечения.
- Кривая имеет не более конечного числа особых точек, и если их нет, то кривая гладкая.
-
Особые точки и дельта-инварианты
- Особая точка имеет дельта-инвариант δ, если она концентрирует δ обычных двойных точек.
- δ можно определить как длину интегрального замыкания локального кольца в точке P.
- Число Милнора μ связано с δ и числом ветвлений r формулой Милнора–Юнга.
-
Род кривой
- Род кривой g определяется как сумма дельта-инвариантов всех особых точек.
- Формула рода: g = (d-1)(d-2) — ∑PδP.
-
Примеры кривых
- Рациональные кривые: параметризуются рациональными функциями и имеют рациональные параметризации.
- Рациональные плоские кривые: параметризуются однородными многочленами и имеют размерность 3d-1.
- Эллиптические кривые: определяются как кривые первого рода с рациональной точкой и имеют структуру абелевой группы.
- Кривые рода больше единицы: имеют конечное число рациональных точек и гиперболическую геометрическую структуру.
-
Проективные плоские кривые
- Плоские кривые в P2 степени k имеют род (k-1)(k-2)/2.
- Кривые могут быть сконструированы как исчезающие локусы общего сечения.
- Пример: кривая x4+y4+z4 имеет род 3 и является плавной.
- Кривая x(x2+y2+z2) пересекается не более чем в 2 точках и является объединением двух рациональных кривых.
-
Кривые в произведении проективных прямых
- Кривые в P1×P1 задаются исчезающими локусами в O(a,b) для a,b ≥ 2.
- Кривые имеют род ab-a-b+1, который можно проверить с помощью когомологий когерентных пучков.
- При a=2 кривые имеют род b-1, что позволяет построить кривую любого рода.
-
Примеры кривых
- Кривая x4+y4+z4 имеет род 3 и является плавной.
- Кривая x(x2+y2+z2) пересекается в двух точках и является объединением двух рациональных кривых.
- Кривые в P1×P1 могут быть кратко охарактеризованы в таблице.