Алгебраическая кривая

Оглавление1 Алгебраическая кривая1.1 Аффинные и проективные алгебраические кривые1.2 Неприводимые и приводимые кривые1.3 Алгебраические кривые как многообразия1.4 Алгебраические кривые в евклидовой […]

Оглавление

Алгебраическая кривая

  • Аффинные и проективные алгебраические кривые

    • Аффинная алгебраическая кривая — нулевое множество многочлена от двух переменных.  
    • Проективная алгебраическая кривая — нулевое множество однородного многочлена от трех переменных.  
    • Аффинную кривую можно преобразовать в проективную путем гомогенизации.  
    • Проективную кривую можно ограничить аффинной кривой.  
  • Неприводимые и приводимые кривые

    • Неприводимая кривая — кривая, определяемая неприводимым многочленом.  
    • Приводимая кривая — кривая, состоящая из неприводимых кривых.  
  • Алгебраические кривые как многообразия

    • Алгебраическая кривая — алгебраическое многообразие размерности один.  
    • Бирациональная эквивалентность сводит изучение алгебраических кривых к изучению плоских кривых.  
    • Некоторые свойства кривых не поддаются бирациональной эквивалентности.  
  • Алгебраические кривые в евклидовой геометрии

    • Алгебраическая кривая на евклидовой плоскости — множество точек, удовлетворяющих полиномиальному уравнению.  
    • Кривая может быть разложена на гладкие монотонные дуги и узлы.  
    • Важно знать примечательные точки и их касательные для рисования кривой.  
  • Плоские проективные кривые

    • Проективная кривая — множество точек в проективной плоскости, удовлетворяющих однородному многочлену.  
    • Аффинная кривая может быть преобразована в проективную путем гомогенизации.  
    • Проективные кривые полезны для изучения аффинных кривых.  
  • Примечательные точки плоской кривой

    • Пересечение кривой с линией полезно для построения кривой.  
    • Теорема Безу утверждает, что кривая пересекает прямую не более чем в d точках.  
    • Касательная в точке кривой определяется производными многочлена.  
    • Особые точки — точки, где касательная не определена.  
  • Особые точки алгебраических кривых

    • Особые точки определяются как решения системы уравнений, где производные по всем трем координатам равны нулю.  
    • В нулевой характеристике система эквивалентна производным по одной координате.  
    • Число особых точек конечно и не превышает (d − 1)2 для приводимых многочленов и (d − 1)(d − 2)/2 для неприводимых.  
  • Асимптоты алгебраических кривых

    • Каждая бесконечная ветвь кривой соответствует точке на бесконечности, которая является касательной к кривой.  
    • Асимптота определяется как касательная к кривой в точке на бесконечности.  
    • Асимптоты могут быть параболическими или иметь несколько асимптот.  
  • Аналитическая структура алгебраических кривых

    • Вблизи особой точки кривая представляет собой объединение конечного числа ветвей.  
    • Вблизи обычной точки одна из координат выражается как аналитическая функция другой.  
    • Вблизи особой точки используются ряды Пюизе для описания ветвей.  
  • Неплоские алгебраические кривые

    • Алгебраическая кривая определяется как алгебраическая разновидность размерности один.  
    • Для определения кривой требуется n − 1 многочленов от n переменных, генерирующих простой идеал размерности Крулля 1.  
  • Представление неплоских кривых

    • Неплоские кривые могут быть представлены через многочлены f, g0, g3, …, gn.  
    • Точки в аффинном пространстве удовлетворяют уравнениям и неравенствам, определяющим кривую.  
    • Кривая определяется системой образующих идеального многочлена h.  
  • Бирациональная эквивалентность

    • Каждая алгебраическая кривая может быть представлена через f.  
    • Проекция на две первые переменные может потребовать линейного изменения переменных.  
    • Представление позволяет легко вывести свойства кривой из свойств её плоской проекции.  
  • Поля алгебраических функций

    • Изучение алгебраических кривых сводится к изучению неприводимых кривых.  
    • Неприводимые кривые эквивалентны полям алгебраических функций с одной переменной.  
    • Поле алгебраической функции является расширением поля F, содержащим элемент x, трансцендентный над F.  
  • Сложные кривые и реальные поверхности

    • Сложная проективная алгебраическая кривая находится в n-мерном комплексном проективном пространстве.  
    • Алгебраическая кривая над C имеет топологическую размерность два и является поверхностью.  
    • Род кривой равен (d − 1) (d − 2) /2 − k, где k — число особенностей.  
  • Компактные римановы поверхности

    • Риманова поверхность — связное комплексное аналитическое многообразие.  
    • Существует тройная эквивалентность между категориями гладких неприводимых проективных алгебраических кривых, компактных римановых поверхностей и полей алгебраических функций.  
  • Особенности кривых

    • Точки на алгебраической кривой классифицируются как гладкие или сингулярные.  
    • Особые точки определяются рангом матрицы Якоби.  
    • Особые точки включают точки пересечения кривой с собой и различные типы точек пересечения.  
    • Кривая имеет не более конечного числа особых точек, и если их нет, то кривая гладкая.  
  • Особые точки и дельта-инварианты

    • Особая точка имеет дельта-инвариант δ, если она концентрирует δ обычных двойных точек.  
    • δ можно определить как длину интегрального замыкания локального кольца в точке P.  
    • Число Милнора μ связано с δ и числом ветвлений r формулой Милнора–Юнга.  
  • Род кривой

    • Род кривой g определяется как сумма дельта-инвариантов всех особых точек.  
    • Формула рода: g = (d-1)(d-2) — ∑PδP.  
  • Примеры кривых

    • Рациональные кривые: параметризуются рациональными функциями и имеют рациональные параметризации.  
    • Рациональные плоские кривые: параметризуются однородными многочленами и имеют размерность 3d-1.  
    • Эллиптические кривые: определяются как кривые первого рода с рациональной точкой и имеют структуру абелевой группы.  
    • Кривые рода больше единицы: имеют конечное число рациональных точек и гиперболическую геометрическую структуру.  
  • Проективные плоские кривые

    • Плоские кривые в P2 степени k имеют род (k-1)(k-2)/2.  
    • Кривые могут быть сконструированы как исчезающие локусы общего сечения.  
    • Пример: кривая x4+y4+z4 имеет род 3 и является плавной.  
    • Кривая x(x2+y2+z2) пересекается не более чем в 2 точках и является объединением двух рациональных кривых.  
  • Кривые в произведении проективных прямых

    • Кривые в P1×P1 задаются исчезающими локусами в O(a,b) для a,b ≥ 2.  
    • Кривые имеют род ab-a-b+1, который можно проверить с помощью когомологий когерентных пучков.  
    • При a=2 кривые имеют род b-1, что позволяет построить кривую любого рода.  
  • Примеры кривых

    • Кривая x4+y4+z4 имеет род 3 и является плавной.  
    • Кривая x(x2+y2+z2) пересекается в двух точках и является объединением двух рациональных кривых.  
    • Кривые в P1×P1 могут быть кратко охарактеризованы в таблице.  

Полный текст статьи:

Алгебраическая кривая

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх