Банахово пространство

• Определение и свойства банаховых пространств

  • Банахово пространство — это полное метрическое пространство с определенной нормой. 
  • Банаховы пространства обладают свойством полноты, что означает, что любая последовательность сходится. 
  • Банаховы пространства могут быть бесконечномерными, и их топология уникальна. 

• Примеры банаховых пространств

  • Гильбертово пространство 
  • ℓ 
  • 2 
  • ( 
  • N 
  • ) 
  • {\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )} 
  • Банахово пространство с нормой, определяемой как сумма квадратов координат. 
  • Пространство Фреше 
  • Пространство с нормой, определенной как сумма абсолютных значений координат. 

• Классы гомеоморфизмов

  • Все конечномерные нормированные пространства линейно гомеоморфны. 
  • Бесконечномерные сепарабельные пространства Фреше гомеоморфны друг другу. 
  • Метрические банаховы многообразия могут быть вложены в 
  • . 

• Компактные и выпуклые подмножества

  • В 
  • существует компактное подмножество с некомпактной выпуклой оболочкой. 
  • Замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества всегда компактна. 

• Топологическое векторное пространство

  • Топологическое векторное пространство — это векторное пространство с определенной топологией, делающей сложение и скалярное умножение непрерывными. 
  • Топологическое векторное пространство Хаусдорфа является локально выпуклым и нормализуемым. 

• Сравнение полных метризуемых топологий

  • Если две топологии на одном пространстве делают его полным метризуемым, то они должны быть равны. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.