Диагонализируемая матрица

• Определение и свойства матрицы

  • Матрица — это прямоугольная таблица чисел, которая отображает строки на столбцы. 
  • Матрица может быть квадратной или прямоугольной. 
  • Матрицы могут быть определены над различными полями, включая комплексные числа. 

• Диагонализация матрицы

  • Диагонализация матрицы — это процесс преобразования матрицы в диагональную форму. 
  • Диагонализация возможна, если матрица обратима. 
  • Существуют различные методы диагонализации, включая метод Гаусса и метод Жордана. 

• Теорема Гаусса

  • Теорема Гаусса утверждает, что любая матрица может быть диагонализирована с помощью элементарных преобразований. 
  • Элементарные преобразования включают транспонирование, умножение на число и сложение матриц. 

• Теорема Жордана

  • Теорема Жордана утверждает, что любая нормальная матрица может быть диагонализирована. 
  • Нормальная матрица — это матрица, у которой все собственные значения имеют одинаковую алгебраическую кратность. 

• Примеры диагонализируемых матриц

  • Инволюции и эндоморфизмы конечного порядка могут быть диагонализированы. 
  • Проекции и вещественные симметричные матрицы также могут быть диагонализированы. 

• Матрицы, которые не поддаются диагонализации

  • Некоторые матрицы, такие как матрицы вращения, не могут быть диагонализированы по вещественным числам, но могут быть диагонализированы по комплексным числам. 
  • Ненулевые нильпотентные матрицы и матрицы с несовпадающими алгебраической и геометрической кратностью собственных значений не могут быть диагонализированы по любому полю. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.