Оглавление
- 1 Динамическая система
- 1.1 Определение динамической системы
- 1.2 Состояние и правило эволюции
- 1.3 Применение в физике и других областях
- 1.4 История и развитие
- 1.5 Формальное определение
- 1.6 Геометрическое определение
- 1.7 Определение динамической системы
- 1.8 Типы динамических систем
- 1.9 Многомерное обобщение
- 1.10 Компактификация динамической системы
- 1.11 Теоретическое определение меры
- 1.12 Построение динамических систем
- 1.13 Примеры динамических систем
- 1.14 Линейные динамические системы
- 1.15 Потоки
- 1.16 Линейные и нелинейные системы
- 1.17 Карты и дискретные динамические системы
- 1.18 Локальная динамика
- 1.19 Исправление и выпрямление
- 1.20 Близкие к периодическим орбитам
- 1.21 Результаты спряжения
- 1.22 Теория бифуркаций
- 1.23 Эргодические системы
- 1.24 Подход Купмана и мера Лиувилля
- 1.25 Меры SRB и хаос
- 1.26 Долгосрочное поведение динамических систем
- 1.27 Решения конечной длительности
- 1.28 Дополнительные ресурсы
- 1.29 Полный текст статьи:
- 2 Динамическая система — Arc.Ask3.Ru
Динамическая система
-
Определение динамической системы
- Динамическая система описывает временную зависимость точки в пространстве.
- Примеры: маятник часов, течение воды, случайное движение частиц.
- Время может измеряться целыми, вещественными или комплексными числами.
- Пространство может быть многообразием или множеством.
-
Состояние и правило эволюции
- Состояние системы задается набором действительных чисел или вектором.
- Правило эволюции описывает, какие будущие состояния следуют из текущего.
- Функция может быть детерминированной или стохастической.
-
Применение в физике и других областях
- Динамические системы используются в математике, физике, биологии, химии, инженерии, экономике, истории и медицине.
- Важны для теории хаоса, динамики логистических карт, теории бифуркаций и процессов самосборки.
-
История и развитие
- Анри Пуанкаре считается основоположником динамических систем.
- Александр Ляпунов разработал методы аппроксимации.
- Джордж Дэвид Биркгофф доказал эргодическую теорему.
- Стивен Смейл внес вклад в исследования динамических систем.
- Александр Николаевич Шарковский разработал теорему о периодах дискретных систем.
-
Формальное определение
- Динамическая система — это кортеж (T, X, Φ), где T — моноид, X — множество, Φ — функция.
- Φ связывает текущее состояние с будущим состоянием.
- X называется фазовым пространством, t — параметром эволюции.
- Φ-инвариантное подмножество — это подмножество, для которого поток через x определен на все время.
-
Геометрическое определение
- Динамическая система — это кортеж ⟨T, M, f⟩, где T — моноид, M — многообразие, f — функция.
-
Определение динамической системы
- Динамическая система — это кортеж (T, M, Φ), где T — область времени, M — многообразие, а Φ — правило эволюции.
- Φ — это диффеоморфизм многообразия самому себе для каждого момента времени t.
-
Типы динамических систем
- Реальная динамическая система: T — открытый интервал в действительных числах, M — многообразие, Φ — непрерывная функция.
- Дискретная динамическая система: T — множество целых чисел, M — многообразие, Φ — функция.
- Клеточный автомат: T — решетка, M — набор функций, Φ — эволюционная функция.
-
Многомерное обобщение
- Динамические системы могут быть определены по множеству независимых переменных.
- Такие системы полезны для моделирования, например, обработки изображений.
-
Компактификация динамической системы
- Компактификация позволяет использовать аргументы компактности для анализа системы.
- В компактных динамических системах предельный набор любой орбиты непустой, компактный и односвязный.
-
Теоретическое определение меры
- Динамическая система определяется как сохраняющее меру преобразование пространства измерений.
- Отображение Φ сохраняет меру, если для каждого σ в Σ μ(Φ−1σ) = μ(σ).
-
Построение динамических систем
- Динамические системы строятся на основе систем дифференциальных уравнений.
- Мера должна поддерживаться аттрактором, но аттракторы имеют нулевую меру Лебега.
- Для гиперболических систем естественным выбором являются меры Синая–Рюэля-Боуэна.
-
Примеры динамических систем
- Карта кота Арнольда, карта Бейкера, бильярдные системы, динамика прыгающего мяча, круговая карта, комплексный квадратичный многочлен, двойной маятник, диадическая трансформация, карта Энона, иррациональное вращение, карта Каплана–Йорка, система Лоренца, система моделирования квадратичных карт, карта Ресслера, размахивающий машиной Этвуда, карта палатки.
-
Линейные динамические системы
- Линейные системы могут быть решены в терминах простых функций и поведения всех классифицированных орбит.
- Фазовое пространство является N-мерным евклидовым пространством.
- Анализ линейных систем возможен благодаря принципу суперпозиции.
-
Потоки
- Векторное поле v(x) является аффинной функцией положения в фазовом пространстве.
- Решение системы может быть найдено с помощью принципа суперпозиции.
- Случай b ≠ 0 при A = 0 — это прямая линия в направлении b.
- Когда b равно нулю и A ≠ 0, началом координат является равновесная точка потока.
- Для других начальных условий уравнение движения задается экспонентой матрицы.
-
Линейные и нелинейные системы
- Линейные системы демонстрируют чувствительность к начальным условиям.
- Нелинейные системы могут демонстрировать хаотическое поведение.
-
Карты и дискретные динамические системы
- Аффинная динамическая система с дискретным временем имеет форму матричного разностного уравнения.
- Решения для карты — это точки, перемещающиеся в фазовом пространстве.
- Орбиты организованы в виде кривых, представляющих совокупность точек.
-
Локальная динамика
- Качественные свойства динамических систем не изменяются при плавном изменении координат.
- Особые точки и периодические орбиты важны для понимания структуры фазового пространства.
-
Исправление и выпрямление
- Поток в небольших участках фазового пространства может быть создан просто.
- Теорема об исправлении утверждает, что вблизи особых точек векторное поле становится параллельным.
- Теорема о выпрямлении гласит, что вдали от особых точек динамика точки на небольшом участке представляет собой прямую линию.
-
Близкие к периодическим орбитам
- В окрестности периодической орбиты теорема о выпрямлении не работает.
- Пуанкаре разработал подход, преобразующий анализ вблизи периодической орбиты в анализ карты.
- Пересечение периодической орбиты с сечением Пуанкаре является фиксированной точкой отображения Пуанкаре.
-
Результаты спряжения
- Результаты о существовании решения уравнения сопряжения зависят от собственных значений J и степени гладкости h.
- В гиперболическом случае теорема Хартмана–Гробмана дает условия существования непрерывной функции.
- В эллиптическом случае теорема Колмогорова–Арнольда–Мозера описывает поведение вблизи эллиптической точки.
-
Теория бифуркаций
- Структура фазового пространства зависит от параметра μ.
- Бифуркации происходят при достижении специального значения μ0.
- Бифуркации могут привести к сложным структурам в фазовом пространстве.
-
Эргодические системы
- В гамильтоновых системах объем фазового пространства сохраняется потоком.
- Пуанкаре открыл теорему о рекуррентности, утверждающую, что почти каждая точка возвращается к себе бесконечно часто.
- Эргодическая гипотеза утверждает, что продолжительность времени в области A равна vol(A)/vol(Ω).
- Купман использовал функциональный анализ для изучения эргодических систем.
-
Подход Купмана и мера Лиувилля
- Подход Купмана преобразует нелинейную задачу в линейную.
- Мера Лиувилля используется для средних значений в равновесной статистической механике.
- Среднее значение по времени эквивалентно среднему значению в пространстве с использованием коэффициента Больцмана.
-
Меры SRB и хаос
- Меры SRB заменяют коэффициент Больцмана и определяются на основе аттракторов хаотических систем.
- Простые нелинейные динамические системы могут демонстрировать хаотическое поведение.
- Гиперболические системы проявляют свойства хаотических систем.
-
Долгосрочное поведение динамических систем
- Основное внимание уделяется долгосрочному качественному поведению систем.
- Вопросы касаются устойчивости и факторов притяжения.
- Хаос можно обнаружить в тривиальных системах, таких как логистическая карта Помо–Манневиля.
-
Решения конечной длительности
- Для нелинейных автономных ОДУ возможны решения конечной длительности.
- Эти решения подразумевают непредсказуемость назад во времени.
- Решения не являются функциями Липшица и не могут быть аналитическими функциями.
-
Дополнительные ресурсы
- Портал системной науки, поведенческое и когнитивное моделирование.
- Сложная динамика, динамичный подход к освоению второго языка.
- Пассивация обратной связи, бесконечные композиции аналитических функций.
- Список тем по динамическим системам, колебание, люди в системах и управлении.
- Теорема Шарковского, фундаментальная теорема Конли о динамических системах.
- Системная динамика, теория систем, принцип максимального калибра.
- Рекомендации по дальнейшему чтению и внешние ссылки.