Целое число по Гауссу

• Определение и свойства гауссовых целых чисел

  • Гауссовы целые числа — это комплексные числа, которые удовлетворяют условию a2 + b2 = ±1. 
  • Они образуют кольцо с двумя элементами, которое является уникальным полем с двумя элементами. 
  • Существуют четыре класса вычетов по модулю 2, а также восемь классов вычетов по модулю 2 + 2i. 

• Геометрическое представление и классы вычетов

  • Геометрически классы вычетов соответствуют квадратам на комплексной плоскости. 
  • Каждый класс вычетов содержит ровно один элемент в Q00, который называется минимальным остатком. 
  • Число классов вычетов по модулю гауссова целого числа равно его норме. 

• Поля класса остатков и группа классов примитивных вычетов

  • Поле класса вычетов является полем, если норма гауссова целого числа является простым числом. 
  • Группа классов примитивных вычетов — это подмножество классов вычетов, которые взаимно просты с модулем. 
  • Для простых чисел Гаусса количество классов примитивных вычетов равно их абсолютной величине. 

• Историческая справка и нерешенные проблемы

  • Гаусс ввел гауссовы целые числа в 1832 году для упрощения доказательства теоремы квадратичной взаимности. 
  • Нерешенные проблемы включают распределение простых чисел Гаусса на плоскости и гипотезы о бесконечности простых чисел на определенных линиях. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.