Генерирующий набор группы

• Определение и примеры порождающих множеств

  • Порождающее множество группы — это набор элементов, которые порождают всю группу. 
  • Примеры включают циклические группы, конечные группы и свободные группы. 
  • В циклических группах порождающее множество состоит из одного элемента, а в конечных группах — из конечного числа элементов. 
  • Свободная группа является наиболее общей группой, порождаемой набором элементов. 

• Свойства порождающих множеств

  • Порождающее множество является минимальным по включению, то есть не содержит элементов, которые уже содержатся в группе. 
  • Порождающее множество не может содержать элементов, которые не порождают группу при удалении из множества. 
  • В полугруппах и моноидах порождающее множество является наименьшим множеством, содержащим элементы, которые порождают группу. 

• Примеры порождающих множеств в различных структурах

  • В целых числах порождающее множество состоит из всех элементов, кроме нуля. 
  • В натуральных числах порождающее множество состоит из всех натуральных чисел, кроме нуля. 
  • В целых числах порождающее множество не включает отрицательные числа. 

• Дополнительные сведения

  • В статье также упоминаются графические представления групп, такие как графики Кэли, и различные стили цитирования.