Гильбертово пространство — Arc.Ask3.Ru

Оглавление1 Гильбертово пространство1.1 Определение гильбертовых пространств1.2 История и применение1.3 Примеры и свойства1.4 Внутреннее произведение и норма1.5 Полнота и сходимость1.6 Определение […]

Оглавление

Гильбертово пространство

  • Определение гильбертовых пространств

    • Гильбертовы пространства обобщают методы линейной алгебры и математического анализа на бесконечномерные пространства.  
    • Они возникают в математике и физике как функциональные пространства.  
    • Формально, гильбертово пространство — это векторное пространство с внутренним произведением, индуцирующим функцию расстояния.  
  • История и применение

    • Гильбертовы пространства изучались с начала 20-го века.  
    • Они важны в теории дифференциальных уравнений, квантовой механике, анализе Фурье и эргодической теории.  
    • Джон фон Нейман ввел термин «гильбертово пространство».  
  • Примеры и свойства

    • Примеры гильбертовых пространств включают пространства интегрируемых функций, последовательностей, Соболева и Харди.  
    • Гильбертовы пространства обладают геометрической интуицией и аналогичными теоремами Пифагора и параллелограмма.  
    • Перпендикулярная проекция играет важную роль в задачах оптимизации.  
  • Внутреннее произведение и норма

    • Внутреннее произведение связывает пары элементов и удовлетворяет свойствам симметрии, линейности и положительности.  
    • Норма определяется как внутреннее произведение элемента на самого себя.  
    • Расстояние между элементами определяется через норму и удовлетворяет неравенству треугольника.  
  • Полнота и сходимость

    • Гильбертово пространство является полным, если каждая последовательность Коши сходится к элементу.  
    • Полнота выражается через абсолютную сходимость рядов векторов.  
  • Определение и свойства гильбертовых пространств

    • Гильбертовы пространства — это полные нормированные пространства, которые также являются банаховыми пространствами.  
    • Они являются топологическими векторными пространствами с четко определенными понятиями открытости и замкнутости подмножеств.  
    • Замкнутые линейные подпространства гильбертовых пространств также являются гильбертовыми пространствами.  
  • Примеры гильбертовых пространств

    • Пространство последовательностей l2 состоит из бесконечных последовательностей комплексных чисел, удовлетворяющих условию сходимости ряда.  
    • Внутреннее произведение на l2 определяется как сумма произведений элементов на их сопряженные.  
    • Полнота пространства сохраняется при условии абсолютной сходимости последовательности элементов.  
  • История гильбертовых пространств

    • Идея абстрактного линейного пространства появилась в конце 19-го века.  
    • В начале 20-го века Гильберт и Шмидт ввели внутреннее произведение для интегрируемых функций, что привело к появлению гильбертовых пространств.  
    • Интеграл Лебега позволил интегрировать более широкий класс функций, что привело к созданию гильбертовых пространств.  
  • Основные результаты и приложения

    • Теорема Рисса-Фишера доказана в 1907 году, что привело к созданию геометрического и аналитического аппарата.  
    • Джон фон Нейман ввел термин «абстрактное гильбертово пространство» и дал им первую полную аксиоматическую трактовку.  
    • Гильбертовы пространства используются в квантовой механике, теории групп и эргодической теории.  
  • Примеры пространств

    • Пространства Лебега связаны с пространствами измерений и интегрируемыми функциями.  
    • Взвешенные пространства L2 используются для изучения ортогональных многочленов.  
    • Пространства Соболева поддерживают структуру внутреннего произведения и дифференцирование.  
  • Пространства Соболева

    • Пространства Соболева Hs(Ω) содержат L2 функции с ограниченными слабыми производными до s-го порядка.  
    • Внутренний продукт в Hs(Ω) включает интегралы по Ω и его окрестностям.  
    • Пространства Соболева могут быть определены для нецелых s.  
    • Пространства Соболева связаны с теорией дифференциальных уравнений в частных производных.  
  • Пространства Харди

    • Пространства Харди H2(U) состоят из голоморфных функций с ограниченными средними значениями.  
    • Норма в H2(U) определяется как предел среднего значения при r → 1.  
    • Пространства Харди связаны с рядами Фурье.  
  • Пространства Бергмана

    • Пространства Бергмана L2,h(D) состоят из голоморфных функций, интегрируемых по мере Лебега.  
    • Пространства Бергмана являются гильбертовыми пространствами и имеют воспроизводящее ядро.  
    • Пространства Бергмана связаны с теорией Штурма–Лиувилля и дифференциальными уравнениями в частных производных.  
  • Приложения гильбертовых пространств

    • Гильбертовы пространства используются в спектральной теории и теории обыкновенных дифференциальных уравнений.  
    • Спектральная теория обобщает спектральное разложение матрицы.  
    • Дифференциальные уравнения в частных производных формулируются в терминах гильбертовых пространств.  
    • Теорема Лакса–Милгрэма гарантирует существование и единственность решений для эллиптических уравнений.  
  • Эргодическая теория

    • Эргодическая теория изучает долгосрочное поведение хаотических динамических систем.  
  • Эргодическая теория в термодинамике

    • Эргодическая теория применима к термодинамике, где среднее поведение системы за длительные промежутки времени поддается отслеживанию.  
    • Нулевой закон термодинамики утверждает, что единственным функционально независимым измерением системы в равновесии является ее полная энергия.  
    • Эргодическая динамическая система не имеет других функционально независимых сохраняющихся величин, кроме энергии.  
  • Эргодическая теорема фон Неймана

    • Эргодическая теорема утверждает, что среднее значение наблюдаемого параметра за длительный период времени равно его ожидаемому значению на энергетической поверхности.  
    • Для эргодической системы фиксированный набор временной эволюции состоит из постоянных функций.  
  • Анализ Фурье

    • Анализ Фурье разлагает функцию на линейную комбинацию базисных функций.  
    • Классический ряд Фурье сходится в смысле Гильбертова пространства.  
    • Функции могут быть разложены на различные базисные функции, такие как ортогональные многочлены или вейвлеты.  
  • Спектральная теория

    • Спектральная теория изучает функции применительно к спектру дифференциального оператора.  
    • Преобразование Фурье функции разлагает функцию на компоненты в непрерывном спектре лапласиана.  
    • Преобразование Фурье является изометрией одного гильбертова пространства с другим.  
  • Квантовая механика

    • В квантовой механике состояния системы представлены единичными векторами в гильбертовом пространстве.  
    • Каждая наблюдаемая величина представлена самосопряженным линейным оператором.  
    • Вероятность перехода системы из одного состояния в другое определяется квадратом амплитуды вероятности.  
  • Теория вероятностей

    • В теории вероятностей гильбертовы пространства также имеют разнообразные применения.  
  • Гильбертово пространство случайных величин

    • Пространство случайных величин в заданном вероятностном пространстве с конечными первым и вторым моментами.  
    • Центрирование случайной величины путем вычитания её математического ожидания.  
    • Ортогональная проекция случайной величины на ядро оператора математического ожидания.  
  • Условное математическое ожидание

    • Условное математическое ожидание как ортогональная проекция на подпространство L2(Ω, P).  
    • Независимость случайных величин означает ортогональность их центрированных величин.  
    • Теорема Пифагора в ядре оператора математического ожидания.  
  • Мартингейлы в гильбертовых пространствах

    • Мартингейл как последовательность элементов гильбертова пространства.  
    • Математическое ожидание мартингала как ортогональная проекция на линейный корпус предыдущих элементов.  
  • Гильбертовы пространства в математическом анализе Ито

    • Связь нормы Гильберта с интегрируемым по квадрату мартингалом.  
    • Изометрия Itô, связывающая квадратичную вариацию мартингала с интегралом Ито.  
  • Применение гильбертовых пространств в теории гауссовых процессов

    • Попытка осмыслить интегралы по бесконечномерным пространствам.  
    • Построение меры Винера как гауссовой меры в пространстве Соболева H1([0, ∞)).  
  • Восприятие цвета

    • Физические цвета могут быть представлены комбинацией спектральных цветов.  
    • Воспринимаемые цвета могут быть представлены в трехмерном евклидовом пространстве.  
  • Свойства гильбертовых пространств

    • Идентичность Пифагора: сумма квадратов норм ортогональных векторов равна сумме квадратов их норм.  
    • Идентичность и поляризация параллелограмма: тождество параллелограмма и поляризационное тождество.  
    • Наилучшее приближение: теорема о проекции Гильберта и ортогональные проекции.  
    • Двойственность: применение к замкнутым подпространствам и подмножествам.  
  • Двойственное пространство H*

    • Пространство непрерывных линейных функций из H в базовое поле  
    • Норма определяется как sup |φ(x)| при ‖x‖ = 1  
    • Двойственное пространство является гильбертовым  
  • Внутреннее произведение на двойственном пространстве

    • Определяется через поляризационное тождество  
    • Внутреннее произведение удовлетворяет закону параллелограмма  
  • Теорема о представлении Рисса

    • Отображение из H в H* сюръективно и изометрично  
    • Для каждого элемента φ существует уникальный uφ, такой что ⟨x, uφ⟩ = φ(x)  
  • Слабо сходящиеся последовательности

    • Последовательность {xn} слабо сходится к x, если limn⟨xn, v⟩ = ⟨x, v⟩ для всех v  
    • Каждая ограниченная последовательность имеет слабо сходящуюся подпоследовательность  
  • Свойства банаховых пространств

    • Теорема об открытом отображении утверждает, что непрерывное сюръективное линейное преобразование является открытым  
    • Теорема о замкнутом графе утверждает, что линейная функция непрерывна тогда и только тогда, когда её граф замкнут  
  • Операторы в гильбертовых пространствах

    • Ограниченные операторы отображают ограниченные множества в ограниченные множества  
    • Сопряженный оператор A* удовлетворяет A** = A  
    • Множество ограниченных линейных операторов является C*-алгеброй  
  • Самосопряженные и нормальные операторы

    • Самосопряженные операторы удовлетворяют A* = A  
    • Нормальные операторы удовлетворяют AA* = A*A  
  • Унитарные и компактные операторы

    • Унитарные операторы обратимы и образуют группу изометрии  
    • Компактные операторы отправляют ограниченные множества в относительно компактные множества  
  • Операторы Фредгольма

    • Операторы Фредгольма имеют конечномерное ядро и коядро-двойник  
    • Индекс оператора Фредгольма определяется как dim ker T — dim coker T  
  • Неограниченные операторы

    • Неограниченные операторы имеют область действия в линейном подпространстве H  
    • Плотно определенные операторы имеют область действия в плотном подпространстве H  
  • Сопряженность неограниченных операторов

    • Определяется аналогично ограниченным операторам  
    • Играют роль наблюдаемых величин в квантовой механике  
  • Примеры самосопряженных неограниченных операторов

    • Подходящее расширение дифференциального оператора  
    • Оператор умножения на x  
  • Прямые суммы гильбертовых пространств

    • Объединение двух гильбертовых пространств в одно  
    • Внутреннее произведение определяется через сумму произведений элементов  
    • Прямая сумма снабжена семейством ортогональных проекций  
  • Тензорные произведения гильбертовых пространств

    • Внутреннее произведение определяется через произведение элементов  
    • Гильбертово тензорное произведение изометрично и линейно изоморфно  
    • Пример: гильбертово пространство L2([0, 1])  
  • Ортонормированные базисы

    • Семейство элементов, удовлетворяющих условиям ортогональности, нормализации и полноты  
    • Примеры: множество {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} в R3, последовательность { fn | n ∈ Z} в L2([0, 1])  
  • Пробелы в последовательности

    • Пространство ℓ2 состоит из суммируемых по квадратам последовательностей комплексных чисел  
    • Имеет ортонормированный базис, но не является компактным  
    • Обобщение: пространство ℓ2(B) с индексным множеством B  
  • Неравенство Бесселя и формула Парсеваля

    • Для конечной ортонормированной системы f1, …, fn, ⟨x, fk⟩ = ⟨y, fk⟩ для каждого k = 1, …, n  
  • Ортогональность и неравенство Бесселя

    • x − y ортогонален каждому fk, следовательно, x − y ортогонален y  
    • Неравенство Бесселя: ‖x‖2 ≥ ‖y‖2 = ∑j=1n |⟨x,fj⟩|2  
    • Неравенство Бесселя подразумевает, что ортогональная проекция x на линейное подпространство не превышает норму x  
  • Тождество Парсеваля

    • Тождество Парсеваля: ‖x‖2 = ∑k∈B |⟨x,ek⟩|2  
    • Тождество Парсеваля гарантирует, что выражение x = ∑k∈B ⟨x,ek⟩ek является разложением x по Фурье  
  • Гильбертово измерение

    • Каждое гильбертово пространство допускает ортонормированный базис  
    • Гильбертова размерность равна мощности ортонормированного базиса  
    • Гильбертово пространство изометрически изоморфно пространству последовательностей l2(B)  
  • Сепарабельные и неразделимые гильбертовы пространства

    • Гильбертово пространство является сепарабельным, если содержит плотное счетное подмножество  
    • Неразделимые гильбертовы пространства важны в квантовой теории поля  
  • Ортогональные дополнения и проекции

    • Ортогональное дополнение S⊥ = {x ∈ H | ⟨x,s⟩ = 0 для всех s ∈ S}  
    • Ортогональная проекция PV является самосопряженным оператором с нормой ≤ 1  
    • Сумма двух проекций является проекцией только при ортогональности U и V  
  • Спектральная теория

    • Спектр оператора T — это набор комплексных чисел λ, таких что T − λ не имеет непрерывной обратной величины  
    • Спектр ограничен и лежит внутри диска |z| ≤ ‖T‖  
    • Спектр самосопряженного оператора действителен и содержится в интервале [m, M]  
  • Спектральные значения и собственные пространства

    • Спектральные значения оператора T определяются как inf и sup значений, при которых оператор T имеет нулевое значение.  
    • Собственные пространства оператора T задаются формулой Hλ = ker(T − λ).  
    • Спектральные значения могут не быть собственными, что усложняет спектральное разложение.  
  • Спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов

    • Компактный самосопряженный оператор T имеет счетное или конечное число спектральных значений.  
    • Спектр T не имеет предельной точки в комплексной плоскости, кроме, возможно, нуля.  
    • Собственные пространства T разлагают H на ортогональную прямую сумму.  
  • Спектральное разложение и интеграл Римана-Стилтьеса

    • Спектральное семейство связывает с каждым действительным числом λ оператор Eλ, который является проекцией на нулевое пространство оператора (T − λ)+.  
    • Операторы Eλ монотонно возрастают относительно частичного порядка.  
    • Спектральная теорема утверждает, что T = ∫Rλ dEλ, где интеграл сходится относительно нормы на B(H).  
  • Применение спектральных методов

    • Теорема о спектральном отображении позволяет применить к самосопряженному оператору T любую непрерывную комплексную функцию f, формируя интеграл f(T) = ∫σ(T)f(λ) dEλ.  
    • Полученное непрерывное функциональное исчисление имеет приложения к псевдодифференциальным операторам.  
  • Спектральная теория неограниченных самосопряженных операторов

    • Спектр неограниченного оператора определяется аналогично ограниченному оператору.  
    • Основная идея работы с неограниченными операторами — рассматривать резольвенту Rλ, где λ нереально.  
    • Спектральная мера E сосредоточена на спектре T.  
  • Спектральная теорема для неограниченных нормальных операторов

    • Заданному плотно определенному самосопряженному оператору T соответствует уникальное разрешение тождества E на борелевских множествах R.  

Полный текст статьи:

Гильбертово пространство — Arc.Ask3.Ru

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх