Оглавление
- 1 Гильбертово пространство
- 1.1 Определение гильбертовых пространств
- 1.2 История и применение
- 1.3 Примеры и свойства
- 1.4 Внутреннее произведение и норма
- 1.5 Полнота и сходимость
- 1.6 Определение и свойства гильбертовых пространств
- 1.7 Примеры гильбертовых пространств
- 1.8 История гильбертовых пространств
- 1.9 Основные результаты и приложения
- 1.10 Примеры пространств
- 1.11 Пространства Соболева
- 1.12 Пространства Харди
- 1.13 Пространства Бергмана
- 1.14 Приложения гильбертовых пространств
- 1.15 Эргодическая теория
- 1.16 Эргодическая теория в термодинамике
- 1.17 Эргодическая теорема фон Неймана
- 1.18 Анализ Фурье
- 1.19 Спектральная теория
- 1.20 Квантовая механика
- 1.21 Теория вероятностей
- 1.22 Гильбертово пространство случайных величин
- 1.23 Условное математическое ожидание
- 1.24 Мартингейлы в гильбертовых пространствах
- 1.25 Гильбертовы пространства в математическом анализе Ито
- 1.26 Применение гильбертовых пространств в теории гауссовых процессов
- 1.27 Восприятие цвета
- 1.28 Свойства гильбертовых пространств
- 1.29 Двойственное пространство H*
- 1.30 Внутреннее произведение на двойственном пространстве
- 1.31 Теорема о представлении Рисса
- 1.32 Слабо сходящиеся последовательности
- 1.33 Свойства банаховых пространств
- 1.34 Операторы в гильбертовых пространствах
- 1.35 Самосопряженные и нормальные операторы
- 1.36 Унитарные и компактные операторы
- 1.37 Операторы Фредгольма
- 1.38 Неограниченные операторы
- 1.39 Сопряженность неограниченных операторов
- 1.40 Примеры самосопряженных неограниченных операторов
- 1.41 Прямые суммы гильбертовых пространств
- 1.42 Тензорные произведения гильбертовых пространств
- 1.43 Ортонормированные базисы
- 1.44 Пробелы в последовательности
- 1.45 Неравенство Бесселя и формула Парсеваля
- 1.46 Ортогональность и неравенство Бесселя
- 1.47 Тождество Парсеваля
- 1.48 Гильбертово измерение
- 1.49 Сепарабельные и неразделимые гильбертовы пространства
- 1.50 Ортогональные дополнения и проекции
- 1.51 Спектральная теория
- 1.52 Спектральные значения и собственные пространства
- 1.53 Спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов
- 1.54 Спектральное разложение и интеграл Римана-Стилтьеса
- 1.55 Применение спектральных методов
- 1.56 Спектральная теория неограниченных самосопряженных операторов
- 1.57 Спектральная теорема для неограниченных нормальных операторов
- 1.58 Полный текст статьи:
- 2 Гильбертово пространство — Arc.Ask3.Ru
Гильбертово пространство
-
Определение гильбертовых пространств
- Гильбертовы пространства обобщают методы линейной алгебры и математического анализа на бесконечномерные пространства.
- Они возникают в математике и физике как функциональные пространства.
- Формально, гильбертово пространство — это векторное пространство с внутренним произведением, индуцирующим функцию расстояния.
-
История и применение
- Гильбертовы пространства изучались с начала 20-го века.
- Они важны в теории дифференциальных уравнений, квантовой механике, анализе Фурье и эргодической теории.
- Джон фон Нейман ввел термин «гильбертово пространство».
-
Примеры и свойства
- Примеры гильбертовых пространств включают пространства интегрируемых функций, последовательностей, Соболева и Харди.
- Гильбертовы пространства обладают геометрической интуицией и аналогичными теоремами Пифагора и параллелограмма.
- Перпендикулярная проекция играет важную роль в задачах оптимизации.
-
Внутреннее произведение и норма
- Внутреннее произведение связывает пары элементов и удовлетворяет свойствам симметрии, линейности и положительности.
- Норма определяется как внутреннее произведение элемента на самого себя.
- Расстояние между элементами определяется через норму и удовлетворяет неравенству треугольника.
-
Полнота и сходимость
- Гильбертово пространство является полным, если каждая последовательность Коши сходится к элементу.
- Полнота выражается через абсолютную сходимость рядов векторов.
-
Определение и свойства гильбертовых пространств
- Гильбертовы пространства — это полные нормированные пространства, которые также являются банаховыми пространствами.
- Они являются топологическими векторными пространствами с четко определенными понятиями открытости и замкнутости подмножеств.
- Замкнутые линейные подпространства гильбертовых пространств также являются гильбертовыми пространствами.
-
Примеры гильбертовых пространств
- Пространство последовательностей l2 состоит из бесконечных последовательностей комплексных чисел, удовлетворяющих условию сходимости ряда.
- Внутреннее произведение на l2 определяется как сумма произведений элементов на их сопряженные.
- Полнота пространства сохраняется при условии абсолютной сходимости последовательности элементов.
-
История гильбертовых пространств
- Идея абстрактного линейного пространства появилась в конце 19-го века.
- В начале 20-го века Гильберт и Шмидт ввели внутреннее произведение для интегрируемых функций, что привело к появлению гильбертовых пространств.
- Интеграл Лебега позволил интегрировать более широкий класс функций, что привело к созданию гильбертовых пространств.
-
Основные результаты и приложения
- Теорема Рисса-Фишера доказана в 1907 году, что привело к созданию геометрического и аналитического аппарата.
- Джон фон Нейман ввел термин «абстрактное гильбертово пространство» и дал им первую полную аксиоматическую трактовку.
- Гильбертовы пространства используются в квантовой механике, теории групп и эргодической теории.
-
Примеры пространств
- Пространства Лебега связаны с пространствами измерений и интегрируемыми функциями.
- Взвешенные пространства L2 используются для изучения ортогональных многочленов.
- Пространства Соболева поддерживают структуру внутреннего произведения и дифференцирование.
-
Пространства Соболева
- Пространства Соболева Hs(Ω) содержат L2 функции с ограниченными слабыми производными до s-го порядка.
- Внутренний продукт в Hs(Ω) включает интегралы по Ω и его окрестностям.
- Пространства Соболева могут быть определены для нецелых s.
- Пространства Соболева связаны с теорией дифференциальных уравнений в частных производных.
-
Пространства Харди
- Пространства Харди H2(U) состоят из голоморфных функций с ограниченными средними значениями.
- Норма в H2(U) определяется как предел среднего значения при r → 1.
- Пространства Харди связаны с рядами Фурье.
-
Пространства Бергмана
- Пространства Бергмана L2,h(D) состоят из голоморфных функций, интегрируемых по мере Лебега.
- Пространства Бергмана являются гильбертовыми пространствами и имеют воспроизводящее ядро.
- Пространства Бергмана связаны с теорией Штурма–Лиувилля и дифференциальными уравнениями в частных производных.
-
Приложения гильбертовых пространств
- Гильбертовы пространства используются в спектральной теории и теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
- Спектральная теория обобщает спектральное разложение матрицы.
- Дифференциальные уравнения в частных производных формулируются в терминах гильбертовых пространств.
- Теорема Лакса–Милгрэма гарантирует существование и единственность решений для эллиптических уравнений.
-
Эргодическая теория
- Эргодическая теория изучает долгосрочное поведение хаотических динамических систем.
-
Эргодическая теория в термодинамике
- Эргодическая теория применима к термодинамике, где среднее поведение системы за длительные промежутки времени поддается отслеживанию.
- Нулевой закон термодинамики утверждает, что единственным функционально независимым измерением системы в равновесии является ее полная энергия.
- Эргодическая динамическая система не имеет других функционально независимых сохраняющихся величин, кроме энергии.
-
Эргодическая теорема фон Неймана
- Эргодическая теорема утверждает, что среднее значение наблюдаемого параметра за длительный период времени равно его ожидаемому значению на энергетической поверхности.
- Для эргодической системы фиксированный набор временной эволюции состоит из постоянных функций.
-
Анализ Фурье
- Анализ Фурье разлагает функцию на линейную комбинацию базисных функций.
- Классический ряд Фурье сходится в смысле Гильбертова пространства.
- Функции могут быть разложены на различные базисные функции, такие как ортогональные многочлены или вейвлеты.
-
Спектральная теория
- Спектральная теория изучает функции применительно к спектру дифференциального оператора.
- Преобразование Фурье функции разлагает функцию на компоненты в непрерывном спектре лапласиана.
- Преобразование Фурье является изометрией одного гильбертова пространства с другим.
-
Квантовая механика
- В квантовой механике состояния системы представлены единичными векторами в гильбертовом пространстве.
- Каждая наблюдаемая величина представлена самосопряженным линейным оператором.
- Вероятность перехода системы из одного состояния в другое определяется квадратом амплитуды вероятности.
-
Теория вероятностей
- В теории вероятностей гильбертовы пространства также имеют разнообразные применения.
-
Гильбертово пространство случайных величин
- Пространство случайных величин в заданном вероятностном пространстве с конечными первым и вторым моментами.
- Центрирование случайной величины путем вычитания её математического ожидания.
- Ортогональная проекция случайной величины на ядро оператора математического ожидания.
-
Условное математическое ожидание
- Условное математическое ожидание как ортогональная проекция на подпространство L2(Ω, P).
- Независимость случайных величин означает ортогональность их центрированных величин.
- Теорема Пифагора в ядре оператора математического ожидания.
-
Мартингейлы в гильбертовых пространствах
- Мартингейл как последовательность элементов гильбертова пространства.
- Математическое ожидание мартингала как ортогональная проекция на линейный корпус предыдущих элементов.
-
Гильбертовы пространства в математическом анализе Ито
- Связь нормы Гильберта с интегрируемым по квадрату мартингалом.
- Изометрия Itô, связывающая квадратичную вариацию мартингала с интегралом Ито.
-
Применение гильбертовых пространств в теории гауссовых процессов
- Попытка осмыслить интегралы по бесконечномерным пространствам.
- Построение меры Винера как гауссовой меры в пространстве Соболева H1([0, ∞)).
-
Восприятие цвета
- Физические цвета могут быть представлены комбинацией спектральных цветов.
- Воспринимаемые цвета могут быть представлены в трехмерном евклидовом пространстве.
-
Свойства гильбертовых пространств
- Идентичность Пифагора: сумма квадратов норм ортогональных векторов равна сумме квадратов их норм.
- Идентичность и поляризация параллелограмма: тождество параллелограмма и поляризационное тождество.
- Наилучшее приближение: теорема о проекции Гильберта и ортогональные проекции.
- Двойственность: применение к замкнутым подпространствам и подмножествам.
-
Двойственное пространство H*
- Пространство непрерывных линейных функций из H в базовое поле
- Норма определяется как sup |φ(x)| при ‖x‖ = 1
- Двойственное пространство является гильбертовым
-
Внутреннее произведение на двойственном пространстве
- Определяется через поляризационное тождество
- Внутреннее произведение удовлетворяет закону параллелограмма
-
Теорема о представлении Рисса
- Отображение из H в H* сюръективно и изометрично
- Для каждого элемента φ существует уникальный uφ, такой что ⟨x, uφ⟩ = φ(x)
-
Слабо сходящиеся последовательности
- Последовательность {xn} слабо сходится к x, если limn⟨xn, v⟩ = ⟨x, v⟩ для всех v
- Каждая ограниченная последовательность имеет слабо сходящуюся подпоследовательность
-
Свойства банаховых пространств
- Теорема об открытом отображении утверждает, что непрерывное сюръективное линейное преобразование является открытым
- Теорема о замкнутом графе утверждает, что линейная функция непрерывна тогда и только тогда, когда её граф замкнут
-
Операторы в гильбертовых пространствах
- Ограниченные операторы отображают ограниченные множества в ограниченные множества
- Сопряженный оператор A* удовлетворяет A** = A
- Множество ограниченных линейных операторов является C*-алгеброй
-
Самосопряженные и нормальные операторы
- Самосопряженные операторы удовлетворяют A* = A
- Нормальные операторы удовлетворяют AA* = A*A
-
Унитарные и компактные операторы
- Унитарные операторы обратимы и образуют группу изометрии
- Компактные операторы отправляют ограниченные множества в относительно компактные множества
-
Операторы Фредгольма
- Операторы Фредгольма имеют конечномерное ядро и коядро-двойник
- Индекс оператора Фредгольма определяется как dim ker T — dim coker T
-
Неограниченные операторы
- Неограниченные операторы имеют область действия в линейном подпространстве H
- Плотно определенные операторы имеют область действия в плотном подпространстве H
-
Сопряженность неограниченных операторов
- Определяется аналогично ограниченным операторам
- Играют роль наблюдаемых величин в квантовой механике
-
Примеры самосопряженных неограниченных операторов
- Подходящее расширение дифференциального оператора
- Оператор умножения на x
-
Прямые суммы гильбертовых пространств
- Объединение двух гильбертовых пространств в одно
- Внутреннее произведение определяется через сумму произведений элементов
- Прямая сумма снабжена семейством ортогональных проекций
-
Тензорные произведения гильбертовых пространств
- Внутреннее произведение определяется через произведение элементов
- Гильбертово тензорное произведение изометрично и линейно изоморфно
- Пример: гильбертово пространство L2([0, 1])
-
Ортонормированные базисы
- Семейство элементов, удовлетворяющих условиям ортогональности, нормализации и полноты
- Примеры: множество {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} в R3, последовательность { fn | n ∈ Z} в L2([0, 1])
-
Пробелы в последовательности
- Пространство ℓ2 состоит из суммируемых по квадратам последовательностей комплексных чисел
- Имеет ортонормированный базис, но не является компактным
- Обобщение: пространство ℓ2(B) с индексным множеством B
-
Неравенство Бесселя и формула Парсеваля
- Для конечной ортонормированной системы f1, …, fn, ⟨x, fk⟩ = ⟨y, fk⟩ для каждого k = 1, …, n
-
Ортогональность и неравенство Бесселя
- x − y ортогонален каждому fk, следовательно, x − y ортогонален y
- Неравенство Бесселя: ‖x‖2 ≥ ‖y‖2 = ∑j=1n |⟨x,fj⟩|2
- Неравенство Бесселя подразумевает, что ортогональная проекция x на линейное подпространство не превышает норму x
-
Тождество Парсеваля
- Тождество Парсеваля: ‖x‖2 = ∑k∈B |⟨x,ek⟩|2
- Тождество Парсеваля гарантирует, что выражение x = ∑k∈B ⟨x,ek⟩ek является разложением x по Фурье
-
Гильбертово измерение
- Каждое гильбертово пространство допускает ортонормированный базис
- Гильбертова размерность равна мощности ортонормированного базиса
- Гильбертово пространство изометрически изоморфно пространству последовательностей l2(B)
-
Сепарабельные и неразделимые гильбертовы пространства
- Гильбертово пространство является сепарабельным, если содержит плотное счетное подмножество
- Неразделимые гильбертовы пространства важны в квантовой теории поля
-
Ортогональные дополнения и проекции
- Ортогональное дополнение S⊥ = {x ∈ H | ⟨x,s⟩ = 0 для всех s ∈ S}
- Ортогональная проекция PV является самосопряженным оператором с нормой ≤ 1
- Сумма двух проекций является проекцией только при ортогональности U и V
-
Спектральная теория
- Спектр оператора T — это набор комплексных чисел λ, таких что T − λ не имеет непрерывной обратной величины
- Спектр ограничен и лежит внутри диска |z| ≤ ‖T‖
- Спектр самосопряженного оператора действителен и содержится в интервале [m, M]
-
Спектральные значения и собственные пространства
- Спектральные значения оператора T определяются как inf и sup значений, при которых оператор T имеет нулевое значение.
- Собственные пространства оператора T задаются формулой Hλ = ker(T − λ).
- Спектральные значения могут не быть собственными, что усложняет спектральное разложение.
-
Спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов
- Компактный самосопряженный оператор T имеет счетное или конечное число спектральных значений.
- Спектр T не имеет предельной точки в комплексной плоскости, кроме, возможно, нуля.
- Собственные пространства T разлагают H на ортогональную прямую сумму.
-
Спектральное разложение и интеграл Римана-Стилтьеса
- Спектральное семейство связывает с каждым действительным числом λ оператор Eλ, который является проекцией на нулевое пространство оператора (T − λ)+.
- Операторы Eλ монотонно возрастают относительно частичного порядка.
- Спектральная теорема утверждает, что T = ∫Rλ dEλ, где интеграл сходится относительно нормы на B(H).
-
Применение спектральных методов
- Теорема о спектральном отображении позволяет применить к самосопряженному оператору T любую непрерывную комплексную функцию f, формируя интеграл f(T) = ∫σ(T)f(λ) dEλ.
- Полученное непрерывное функциональное исчисление имеет приложения к псевдодифференциальным операторам.
-
Спектральная теория неограниченных самосопряженных операторов
- Спектр неограниченного оператора определяется аналогично ограниченному оператору.
- Основная идея работы с неограниченными операторами — рассматривать резольвенту Rλ, где λ нереально.
- Спектральная мера E сосредоточена на спектре T.
-
Спектральная теорема для неограниченных нормальных операторов
- Заданному плотно определенному самосопряженному оператору T соответствует уникальное разрешение тождества E на борелевских множествах R.