Графическая нотация Пенроуза

• Основы графической нотации Пенроуза

  • Нотация Пенроуза используется для визуализации многолинейных функций и тензоров. 
  • Предложена Роджером Пенроузом в 1971 году. 

• Применение в квантовой теории

  • Широко используется в квантовой теории, особенно в матричных произведениях и квантовых схемах. 
  • Категориальная квантовая механика основана на диаграммах Пенроуза. 

• Развитие и обобщения

  • Предраг Цвитанович использовал для классификации классических групп Ли. 
  • Обобщена с использованием теории представлений и матричных групп. 

• Интерпретации в многолинейной алгебре и тензорной алгебре

  • Каждая фигура представляет полилинейную функцию или тензор. 
  • Линии соединяют фигуры, представляя входные или выходные данные функций. 
  • Тензорное умножение выполняется по горизонтали, матричное — по вертикали. 

• Особенности и преимущества

  • Не требует новых букв для новых индексов. 
  • Не зависит от базиса. 

• Примеры специальных тензоров и тензорных операций

  • Метрический тензор представлен U-образной петлей. 
  • Тензор Леви-Чивиты представлен толстой горизонтальной полосой. 
  • Структурные константы алгебры Ли представлены треугольником. 
  • Сокращение индексов, симметризация и антисимметризация индексов. 
  • Определитель формируется антисимметризацией индексов. 
  • Ковариантная производная представлена окружностью вокруг дифференцируемого тензора. 

• Тензорная манипуляция и расширения

  • Схематическая нотация упрощает манипуляции с тензорной алгеброй. 
  • Обозначения расширены для поддержки спиноров и твисторов. 

• Связанные понятия

  • Диаграммы углового момента и плетеная моноидальная категория также используют графическую нотацию. 
  • Математический анализ Риччи и спиновые сети также используют графическую нотацию.