Оглавление
- 1 Группа классов отображения поверхности
- 1.1 Определение группы классов отображения
- 1.2 История и развитие
- 1.3 Примеры и свойства
- 1.4 Теорема Дена–Нильсена–Бэра
- 1.5 Точная последовательность действий Бирмана
- 1.6 Элементы группы классов отображения
- 1.7 Классификация классов отображения
- 1.8 Действие группы классов отображения
- 1.9 Комплексы с групповым действием
- 1.10 Генераторы и отношения
- 1.11 Когомологии и подгруппы
- 1.12 Симплектическая форма и группа классов отображения
- 1.13 Сюръективность и ядро морфизма
- 1.14 Остаточная конечность и подгруппы с конечным индексом
- 1.15 Конечные подгруппы и оценка порядка
- 1.16 Общие сведения о подгруппах
- 1.17 Линейные представления
- 1.18 Полный текст статьи:
- 2 Группа классов отображения поверхности — Википедия
Группа классов отображения поверхности
-
Определение группы классов отображения
- Группа классов отображения поверхности — это группа гомеоморфизмов поверхности с точностью до непрерывной деформации.
- Имеет фундаментальное значение для изучения трехмерных многообразий и алгебраической геометрии.
- Определяется для произвольных многообразий, но наиболее изучена для двумерных поверхностей.
-
История и развитие
- Группа классов отображения появилась в первой половине XX века.
- Макс Ден и Якоб Нильсен внесли значительный вклад в её изучение.
- Терстон придал группе геометрический оттенок и использовал её в изучении трехмерных многообразий.
-
Примеры и свойства
- Группа классов отображения сферы тривиальна, а группы классов отображения тора и кольцевого пространства имеют интересные свойства.
- Группы классов отображения поверхностей с границами и проколами требуют более точного определения.
-
Теорема Дена–Нильсена–Бэра
- Автоморфизмы фундаментальной группы поверхности могут быть представлены гомеоморфизмами.
- Изображение группы классов отображения является подгруппой индекса 2 внешней группы автоморфизмов.
-
Точная последовательность действий Бирмана
- Связывает группы классов отображения поверхностей с разным количеством проколов.
- Позволяет использовать рекурсивные аргументы при изучении групп классов отображения.
-
Элементы группы классов отображения
- Дин крутит: гомеоморфизм, отправляющий кривую на окружности.
-
Классификация классов отображения
- Классы отображения делятся на конечные, приводимые и псевдо-Аносовы.
- Псевдо-Аносовы классы являются наиболее интересными и универсальными.
-
Действие группы классов отображения
- Группа классов отображения действует на пространстве Тейхмюллера и его границе.
- Действие на пространстве Тейхмюллера прерывистое и совместимо с различными геометрическими структурами.
- Действие на границе Терстона объясняет классификацию Нильсена-Терстона.
-
Комплексы с групповым действием
- Комплекс кривых и комплекс брюк имеют различные свойства и используются для доказательства свойств группы классов отображения.
- Комплекс меток локально конечен и квазиизометричен группе классов отображения.
-
Генераторы и отношения
- Группа классов отображения генерируется изгибами Дена вокруг простых замкнутых кривых.
- Группа классов отображения является конечно порожденной и конечно представленной.
- Существуют и другие системы генераторов, такие как два элемента или инволюции.
-
Когомологии и подгруппы
- Виртуальная когомологическая размерность группы классов отображения равна 4g-4+b+k.
- Первая гомология группы классов отображения конечна, что означает конечность первой группы когомологий.
- Группа классов отображения действует на первую группу гомологий, давая линейное представление в GL2g(Z).
-
Симплектическая форма и группа классов отображения
- Число пересечений замкнутых кривых индуцирует симплектическую форму для первой гомологии.
- Группа классов отображения сохраняет эту форму благодаря действию группы классов отображения.
-
Сюръективность и ядро морфизма
- Изображения поворотов Дена генерируют Sp2g(Z).
- Ядро морфизма Mod(S) → Sp2g(Z) называется группой Торелли из S.
-
Остаточная конечность и подгруппы с конечным индексом
- Остаточная конечность линейной группы Sp2g(Z) используется для доказательства.
- Подгруппы с конечным индексом задаются ядрами морфизмов Φn.
-
Конечные подгруппы и оценка порядка
- Группа классов отображения имеет конечное число классов конечных групп.
- Любая конечная подгруппа является подгруппой конечной группы Mod(S)/ker(Φ3) ≅ Sp2g(Z/3).
- Оценка порядка конечных подгрупп может быть получена геометрическими средствами.
-
Общие сведения о подгруппах
- Группы классов отображения удовлетворяют альтернативе Титса.
- Любая несводимая подгруппа должна содержать псевдоаноносовский элемент.
-
Линейные представления
- Вопрос о линейности группы классов отображения остается открытым.
- Существуют другие линейные представления, вытекающие из топологической квантовой теории поля.
- Нижняя граница для измерения достоверного представления составляет 2√(g-1).