Оглавление
- 1 Инъективное тензорное произведение
- 1.1 Инъективное тензорное произведение
- 1.2 Применение инъективных тензорных произведений
- 1.3 Предварительные указания и обозначения
- 1.4 Топологии и обозначения
- 1.5 Равнопротекающие и равнопрорывные наборы
- 1.6 Непрерывные билинейные отображения как тензорное произведение
- 1.7 Теорема о тензорном произведении
- 1.8 Топология TVS
- 1.9 Равнопрерывные множества
- 1.10 Свойства равнопрерывных множеств
- 1.11 Дополнительные свойства инъективного тензорного произведения
- 1.12 Каноническое векторное пространство
- 1.13 TVS-изоморфизм
- 1.14 Свойства канонического векторного пространства
- 1.15 Свойства тензорного произведения
- 1.16 Свойства линейных отображений
- 1.17 Отношение к проективному тензорному произведению и ядерным пространствам
- 1.18 Канонические определения билинейных и линейных отображений
- 1.19 Пространство компактных операторов
- 1.20 Интегральные формы и операторы
- 1.21 Каноническое отображение в L(X; Y)
- 1.22 Примеры
- 1.23 Определение дифференцируемости
- 1.24 Пространства непрерывных отображений
- 1.25 Пространства последовательностей
- 1.26 Пространство функций Шварца
- 1.27 Полный текст статьи:
- 2 Инъективное тензорное произведение – Arc.Ask3.Ru
Инъективное тензорное произведение
-
Инъективное тензорное произведение
- Введено Александром Гротендиком
- Используется для определения ядерных пространств
- Не обязательно полное, требует завершения
-
Применение инъективных тензорных произведений
- TVS-изоморфизмы между вещественными и комплекснозначными функциями
- Расширение функций до TVS Хаусдорфа
-
Предварительные указания и обозначения
- X, Y, Z — топологические векторные пространства
- L: X → Y — линейная карта
- L0: X → X/ker L → Im L → Y — каноническое разложение L
- L(X; Z) — множество непрерывных линейных отображений X → Z
- B(X, Y; Z) — множество непрерывных билинейных отображений X × Y → Z
-
Топологии и обозначения
- σ(X, X’) — топология, делающая все карты в X’ непрерывными
- b(X, X’) — топология ограниченной сходимости
- τ(X, X’) — топология Макки
-
Равнопротекающие и равнопрорывные наборы
- H — равнопротекающий, если для каждой окрестности V в Y существует U в X, что λ(U) ⊆ V для всех λ ∈ H
- H — равнопрорывный, если для каждой окрестности V в Y существует U в X, что h(U) ⊆ V для всех h ∈ H
-
Непрерывные билинейные отображения как тензорное произведение
- B(Xσ’, Yσ’) — тензорное произведение X и Y
- x ⊗ y: Xσ’ × Yσ’ → C — непрерывная билинейная форма
- B(Xσ’, Yσ’) = промежуток (X ⊗ Y)
-
Теорема о тензорном произведении
- (Z, T) — тензорное произведение X и Y тогда и только тогда, когда изображение T охватывает все Z и X и Y T-линейно непересекающиеся
-
Топология TVS
- Все рассматриваемые топологические векторные пространства считаются локально выпуклыми.
- Топология TVS определяется открытыми окрестностями начала координат.
- Топология TVS полностью определяется открытыми окрестностями начала координат.
-
Равнопрерывные множества
- Равнопрерывные множества кодируют информацию о топологии TVS.
- Равномерная сходимость к набору равнопрерывных подмножеств эквивалентна равномерной сходимости к топологии TVS.
- Топология локально выпуклого хаусдорфова пространства идентична топологии равномерной сходимости на равнопрерывных подмножествах.
-
Свойства равнопрерывных множеств
- Равнопрерывный набор ограничен в топологии ограниченной сходимости.
- Равнопрерывный набор ограничен в топологии поточечной сходимости.
- Если X является пространством Бэра, любое подмножество, ограниченное в топологии поточечной сходимости, является равнопрорывным.
- Если X отделимо, Y поддается метризации, и D является плотным подмножеством X, топология поточечной сходимости на D делает L(X;Y) метризуемым.
- Слабое замыкание равнопрерывного множества линейных функционалов на X является компактным подпространством Xσ′.
- Если X является нормируемым пространством, подмножество H ⊆ X′ является равнопрерывным тогда и только тогда, когда оно сильно ограничено.
-
Дополнительные свойства инъективного тензорного произведения
- Билинейная карта B: X1 × X2 → Y, где X1 — пространство Фреше, X2 поддается метризации, а Y локально выпукло, является непрерывной, если она отдельно непрерывна.
- Установленное равенство L(Xσ′; Yσ) = L(Xτ′; Y) всегда остается в силе.
- Существует канонический изоморфизм векторного пространства J: B(Xσ(X′, X)′, Yσ(Y′, Y)′) → L(Xσ(X′, X)′; Yσ(Y, Y′)).
-
Каноническое векторное пространство
- Каноническое векторное пространство изоморфно Y через каноническую карту y ↦ стоимость на y.
- Bx′ будет идентифицирован как элемент Y, который будет обозначаться B~x′ ∈ Y.
- Это определяет карту B~: X′ → Y, данный x′ ↦ B~x′.
-
TVS-изоморфизм
- Когда L(Xσσ; Yσ) дана топология равномерной сходимости на равнопрерывных подмножествах X′, каноническое отображение становится TVS-изоморфизмом.
- J: Bε(Xσ′, Yσ′) → Lε(Xτ′; Y) является TVS-изоморфизмом.
-
Свойства канонического векторного пространства
- X⊗εY может быть канонически встроены в Lε(Xτ′; Y).
- Изображение в L(Xσ′; Yσ) от X⊗εY под канонической картой J состоит из пространства непрерывных линейных отображений Xσ(X′, X)′ → Y.
- Включение L(Xτ′; Y) ⊆ L(Xb′; Y) всегда держится.
- Если X нормировано, Lε(Xτ′; Y) на самом деле топологическое векторное подпространство Lb(Xb′; Y).
-
Свойства тензорного произведения
- Каноническая карта ⋅⊗⋅: X × Y → B(Xσ′, Yσ′) всегда непрерывна.
- ε-топология всегда грубее π-топологии, которая, в свою очередь, грубее индуктивной топологии.
- X⊗εY является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда оба X и Y являются хаусдорфскими.
- Если X и Y нормированы, X⊗εY является нормируемым, и для всех θ ∈ X⊗Y, ‖θ‖ε ≤ ‖θ‖π.
-
Свойства линейных отображений
- Если u и v непрерывны, их тензорное произведение u⊗v: X1⊗εX2 → Y1⊗εY2 также непрерывно.
- Если u и v являются TVS-встроенными, их тензорное произведение u⊗^εv: X1⊗^εX2 → Y1⊗^εY2 также TVS-встроено.
- Если X1 (Y1) является линейным подпространством X2 (Y2), X1⊗εY1 канонически изоморфно линейному подпространству X2⊗εY2 и X1⊗^εY1 канонически изоморфно линейному подпространству X2⊗^εY2.
-
Отношение к проективному тензорному произведению и ядерным пространствам
- Проективная топология или π-топология — это самая точная локально выпуклая топология на B(Xσ′, Yσ′) = X⊗Y.
- X⊗πY называется проективным тензорным произведением X и Y.
- X является ядерным, если для любого локально выпуклого пространства Y, вложение в каноническое векторное пространство X⊗πY → Bε(Xσ′, Yσ′) является TVS-встраиванием, изображение которого является плотным в кодовой области.
-
Канонические определения билинейных и линейных отображений
- Двойственные пространства инъективного тензорного произведения и его завершение.
- Идентификационная карта IdX⊗Y: X⊗πY → X⊗εY непрерывна, поэтому существует уникальное непрерывное линейное расширение I^: X⊗^πY → X⊗^εY.
- Если X и Y гильбертовы пространства, I^: X⊗^πY → X⊗^εY является инъективным и двойственным из X⊗^εY канонически изометрически изоморфно векторному пространству L1(X; Y′) ядерных операторов из X в Y (с нормой трассировки).
- Инъективное тензорное произведение гильбертовых пространств.
- Существует каноническая карта K: X⊗Y → L(X′; Y), которая посылает z = ∑i=1n xi⊗yi к линейной карте K(z): X′ → Y.
- Карта K: X⊗εY → Lb(Xb′; Y) непрерывна, и когда Lb(Xb′; Y) является завершенным, он имеет непрерывное расширение K^: X⊗^εY → Lb(Xb′; Y).
- Когда X и Y гильбертовы пространства, K^: X⊗^εY → Lb(Xb′; Y) является TVS-вложением и изометрией, диапазон которых является пространством всех компактных линейных операторов из X в Y.
-
Пространство компактных операторов
- Пространство компактных линейных операторов между банаховыми пространствами является замкнутым подмножеством Lb(X; Y).
- Каноническая карта X ⊗^εY → X ⊗^πY является инъективной для гильбертовых пространств.
-
Интегральные формы и операторы
- Интегральные билинейные формы могут быть представлены как интегралы по замкнутым подмножествам X и Y.
- Интегральные линейные операторы имеют форму интегралов по замкнутым подмножествам X и Y.
-
Каноническое отображение в L(X; Y)
- Существует каноническая карта K: X ⊗ Y → L(X; Y), которая отправляет z = ∑i=1n xi ⊗ yi к линейной карте K(z): X → Y.
-
Примеры
- Пространство суммируемых семейств в X определяется как множество семейств элементов в X, сумма которых сходится в X.
- Топология на S определяется через полунормы, генерируемые семейством {qU: U ∈ U}.
- Каноническое вложение l1(A) ⊗ X → l1(A, E) является вложением топологических векторных пространств.
- Пространство непрерывно дифференцируемых векторнозначных функций определяется как множество функций из открытого подмножества Rn в локально выпуклое топологическое векторное пространство.
-
Определение дифференцируемости
- Функция f дифференцируема при p0, если существуют n векторов e1, …, en в Y, такие что limp∈dom f p→p0, f(p)−f(p0)−∑i=1n(pi−pi0)ei‖p−p0‖2=0 в Y.
- Понятие дифференцируемости распространяется на Y-многозначные функции на Ω.
-
Пространства непрерывных отображений
- Ck(Ω; Y) — векторное пространство всех Ck Y-значных карт на Ω.
- Cck(Ω; Y) — векторное подпространство Ck(Ω; Y), состоящее из карт с компактной опорой.
- Топологии на Ck(Ω; Y) и Cck(Ω; Y) определяются аналогично топологиям на Ck(Ω) и Cck(Ω).
-
Пространства последовательностей
- l∞(Y) — пространство последовательностей (yi)i=1∞ в Y, сходящихся к началу координат.
- l∞ ⊗^εY канонически изометрически изоморфен l∞(Y).
-
Пространство функций Шварца
- L(Rn; Y) — пространство функций f ∈ C∞(Rn; Y), таких что для всех пар многочленов P и Q в n переменных, {P(x)Q(∂/∂x)f(x):x∈Rn} является ограниченным подмножеством Y.
- L(Rn; Y) канонически изоморфен L(Rn) ⊗^εY.