Интегрируемая система

Оглавление1 Интегрируемая система1.1 Определение интегрируемости1.2 Примеры интегрируемых систем1.3 История и методы1.4 Гамильтоновы системы и интегрируемость по Лиувиллю1.5 Переменные угла действия1.6 […]

Интегрируемая система

  • Определение интегрируемости

    • Интегрируемая система имеет достаточное количество сохраняющихся величин для ограничения движения подмногообразием.  
    • Интегрируемость характеризуется максимальным набором сохраняющихся величин, алгебраическими инвариантами и явным определением решений.  
  • Примеры интегрируемых систем

    • Многомерные гармонические осцилляторы.  
    • Движение планет вокруг фиксированных центров.  
    • Движение твердого тела вокруг центра масс и оси симметрии.  
    • Уравнение Кортевега-де Фриза и эффект Керра в оптических волокнах.  
  • История и методы

    • Интегрируемые системы были возрождены после открытия солитонов в 1965 году.  
    • Метод обратного преобразования рассеяния был создан в 1967 году.  
  • Гамильтоновы системы и интегрируемость по Лиувиллю

    • Интегрируемость по Лиувиллю означает регулярное расслоение фазового пространства инвариантными многообразиями.  
    • В автономных системах существует по крайней мере один инвариант, гамильтониан, значение которого вдоль потока является энергией.  
    • Листья лагранжева слоения являются торами, а естественные линейные координаты называются угловыми переменными.  
  • Переменные угла действия

    • В полностью интегрируемых системах наборы энергетических уровней компактны, потоки завершены, а листья инвариантного слоения представляют собой торы.  
    • Угловые переменные являются естественными периодическими координатами на торах.  
  • Подход Гамильтона–Якоби

    • Метод Гамильтона–Якоби использует полное решение уравнения Гамильтона–Якоби для определения переменных угла действия.  
    • Полное решение уравнения Гамильтона–Якоби существует в очень общих случаях, но не является характеристикой полной интегрируемости.  
  • Солитоны и обратные спектральные методы

    • Возрождение интереса к интегрируемым системам связано с открытием солитонов в 1965 году.  
    • Солитоны могут быть поняты как бесконечномерные интегрируемые гамильтоновы системы.  
  • Интегрируемые системы и их методы

    • Интегрируемые системы позволяют изучать системы с бесконечным числом степеней свободы.  
    • Методы включают обратное преобразование рассеяния и спектральные методы.  
    • Линейный оператор вводится для линеаризации системы.  
  • Билинейные уравнения Хироты

    • Уравнения Хироты заменяют нелинейную динамическую систему билинейной системой.  
    • Уравнения выражают соотношения Плюккера и характеризуют Плюккеровское вложение.  
  • Квантовые интегрируемые системы

    • В квантовой постановке функции заменяются самосопряженными операторами.  
    • Уравнение Янга–Бакстера обеспечивает бесконечный набор сохраняющихся величин.  
    • Примеры: модель Либа–Линигера, модель Хаббарда, модель Гейзенберга.  
  • Точно разрешимые модели

    • Полностью интегрируемые системы называются точно разрешимыми моделями.  
    • Методы Бете Анзаца и квантового обратного рассеяния важны для изучения таких моделей.  
  • Список интегрируемых систем

    • Модель Калоджеро–Мозера–Сазерленда, движение центральной силы, геодезическое движение по эллипсоидам.  
    • Интегрируемые системы Клебша и Стеклова, вершины Лагранжа, Эйлера и Ковалевской.  
    • Уравнение Бенджамина–Оно, уравнение Буссинеска, уравнение Камассы–Холма.  
    • Классическая модель ферромагнетика Гейзенберга, уравнение процесса дегазации.  
    • Уравнение Dym, интегрируемая система Garnier, уравнение Каупа–Купершмидта.  
    • Уравнение Кричевера–Новикова, уравнение Кортевега–де Фриза, уравнение Ландау–Лифшица.  
    • Нелинейное уравнение Шредингера, нелинейные сигма-модели, уравнение Синуса–Гордона.  
    • Модель Тирринга, трехволновое уравнение, уравнение Дэйви–Стюартсона.  
    • Уравнение Ишимори, уравнение Кадомцева–Петвиашвили, уравнение Новикова–Веселова.  
  • Ключевые участники

    • Марк Абловиц, Родни Бакстер, Перси Обожествляет, Леонид Дикки.  
    • Владимир Дринфельд, Борис Дубровин, Людвиг Фаддеев.  
    • Герман Фляшка, Израиль Гельфанд, Александр Свой.  
    • Мичио Джимбо, Игорь Михайлович, Кричевер.  
    • Мартин Крускал, Питер Лакс, Владимир Матвеев.  
    • Генри Маккин, Роберт Миура, Тетсудзи Мива.  
    • Алан Ньюэлл, Николай Решетихин, Алексей Шабат.  
    • Евгений Склянин, Микио Сато, Эллиот Х. Ложь.  
    • Грэм Сигал, Джордж Уилсон, Владимир Евгеньевич Захаров.  

Полный текст статьи:

Интегрируемая система

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх