Оглавление
- 1 Интегрируемая система
- 1.1 Определение интегрируемости
- 1.2 Примеры интегрируемых систем
- 1.3 История и методы
- 1.4 Гамильтоновы системы и интегрируемость по Лиувиллю
- 1.5 Переменные угла действия
- 1.6 Подход Гамильтона–Якоби
- 1.7 Солитоны и обратные спектральные методы
- 1.8 Интегрируемые системы и их методы
- 1.9 Билинейные уравнения Хироты
- 1.10 Квантовые интегрируемые системы
- 1.11 Точно разрешимые модели
- 1.12 Список интегрируемых систем
- 1.13 Ключевые участники
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Интегрируемая система
Интегрируемая система
-
Определение интегрируемости
- Интегрируемая система имеет достаточное количество сохраняющихся величин для ограничения движения подмногообразием.
- Интегрируемость характеризуется максимальным набором сохраняющихся величин, алгебраическими инвариантами и явным определением решений.
-
Примеры интегрируемых систем
- Многомерные гармонические осцилляторы.
- Движение планет вокруг фиксированных центров.
- Движение твердого тела вокруг центра масс и оси симметрии.
- Уравнение Кортевега-де Фриза и эффект Керра в оптических волокнах.
-
История и методы
- Интегрируемые системы были возрождены после открытия солитонов в 1965 году.
- Метод обратного преобразования рассеяния был создан в 1967 году.
-
Гамильтоновы системы и интегрируемость по Лиувиллю
- Интегрируемость по Лиувиллю означает регулярное расслоение фазового пространства инвариантными многообразиями.
- В автономных системах существует по крайней мере один инвариант, гамильтониан, значение которого вдоль потока является энергией.
- Листья лагранжева слоения являются торами, а естественные линейные координаты называются угловыми переменными.
-
Переменные угла действия
- В полностью интегрируемых системах наборы энергетических уровней компактны, потоки завершены, а листья инвариантного слоения представляют собой торы.
- Угловые переменные являются естественными периодическими координатами на торах.
-
Подход Гамильтона–Якоби
- Метод Гамильтона–Якоби использует полное решение уравнения Гамильтона–Якоби для определения переменных угла действия.
- Полное решение уравнения Гамильтона–Якоби существует в очень общих случаях, но не является характеристикой полной интегрируемости.
-
Солитоны и обратные спектральные методы
- Возрождение интереса к интегрируемым системам связано с открытием солитонов в 1965 году.
- Солитоны могут быть поняты как бесконечномерные интегрируемые гамильтоновы системы.
-
Интегрируемые системы и их методы
- Интегрируемые системы позволяют изучать системы с бесконечным числом степеней свободы.
- Методы включают обратное преобразование рассеяния и спектральные методы.
- Линейный оператор вводится для линеаризации системы.
-
Билинейные уравнения Хироты
- Уравнения Хироты заменяют нелинейную динамическую систему билинейной системой.
- Уравнения выражают соотношения Плюккера и характеризуют Плюккеровское вложение.
-
Квантовые интегрируемые системы
- В квантовой постановке функции заменяются самосопряженными операторами.
- Уравнение Янга–Бакстера обеспечивает бесконечный набор сохраняющихся величин.
- Примеры: модель Либа–Линигера, модель Хаббарда, модель Гейзенберга.
-
Точно разрешимые модели
- Полностью интегрируемые системы называются точно разрешимыми моделями.
- Методы Бете Анзаца и квантового обратного рассеяния важны для изучения таких моделей.
-
Список интегрируемых систем
- Модель Калоджеро–Мозера–Сазерленда, движение центральной силы, геодезическое движение по эллипсоидам.
- Интегрируемые системы Клебша и Стеклова, вершины Лагранжа, Эйлера и Ковалевской.
- Уравнение Бенджамина–Оно, уравнение Буссинеска, уравнение Камассы–Холма.
- Классическая модель ферромагнетика Гейзенберга, уравнение процесса дегазации.
- Уравнение Dym, интегрируемая система Garnier, уравнение Каупа–Купершмидта.
- Уравнение Кричевера–Новикова, уравнение Кортевега–де Фриза, уравнение Ландау–Лифшица.
- Нелинейное уравнение Шредингера, нелинейные сигма-модели, уравнение Синуса–Гордона.
- Модель Тирринга, трехволновое уравнение, уравнение Дэйви–Стюартсона.
- Уравнение Ишимори, уравнение Кадомцева–Петвиашвили, уравнение Новикова–Веселова.
-
Ключевые участники
- Марк Абловиц, Родни Бакстер, Перси Обожествляет, Леонид Дикки.
- Владимир Дринфельд, Борис Дубровин, Людвиг Фаддеев.
- Герман Фляшка, Израиль Гельфанд, Александр Свой.
- Мичио Джимбо, Игорь Михайлович, Кричевер.
- Мартин Крускал, Питер Лакс, Владимир Матвеев.
- Генри Маккин, Роберт Миура, Тетсудзи Мива.
- Алан Ньюэлл, Николай Решетихин, Алексей Шабат.
- Евгений Склянин, Микио Сато, Эллиот Х. Ложь.
- Грэм Сигал, Джордж Уилсон, Владимир Евгеньевич Захаров.