Категория отношений

• Определение категории Rel

  • Rel — это категория множеств и бинарных отношений. 
  • Морфизм в Rel — это бинарное отношение между множествами. 

• Свойства категории Rel

  • Rel содержит категорию множеств как подкатегорию. 
  • Категория Rel является самодвойственной и содержит свою противоположность. 
  • Rel является закрытой и компактной категорией кинжала. 
  • Rel может быть получена из категорий как категория Клейсли для монады. 

• Произведение и копроизведение в Rel

  • Произведение в Rel задается непересекающимся объединением, а не декартовым произведением. 
  • Копроизведение также задается непересекающимся объединением. 

• Моноидальная замкнутость и моноидальность Rel

  • Rel является моноидально замкнутой категорией, если моноидальное произведение определено как декартово произведение. 
  • Rel также является моноидальной категорией, если моноидальное произведение задано как непересекающееся объединение. 

• Аллегория в Rel

  • Фрейд и Скедров использовали Rel для создания алгебраической структуры — аллегории. 
  • Индуцированный функтор Rel сохраняет композицию, преобразование и пересечение, что обеспечивает аксиомы для аллегории. 

• Объекты и морфизмы в Rel

  • Объекты в Rel — это однородные отношения, например, A — множество, а R ∈ A × A — бинарное отношение на A. 
  • Морфизмы в Rel — это функции, которые сохраняют отношение между множествами.