Компактное пространство

Оглавление1 Компактное пространство1.1 Определение компактности1.2 Последовательная компактность1.3 Историческое развитие1.4 Основные примеры1.5 Определение компактности1.6 Эквивалентные определения компактности1.7 Компактность в упорядоченных пространствах1.8 […]

Компактное пространство

  • Определение компактности

    • Компактность — это свойство, обобщающее замкнутость и ограниченность подмножеств евклидова пространства.  
    • Компактное пространство не имеет «проколов» или «отсутствующих конечных точек».  
    • Примеры: закрытый интервал [0,1] компактен, а открытый интервал (0,1) нет.  
  • Последовательная компактность

    • Топологическое пространство последовательно компактно, если каждая бесконечная последовательность точек имеет бесконечную подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке.  
    • Теорема Больцано–Вейерштрасса утверждает, что подмножество евклидова пространства компактно в этом смысле тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.  
  • Историческое развитие

    • В 19 веке Больцано и Вейерштрасс доказали теорему о сходимости последовательностей.  
    • В 1880-х годах Арзела и Асколи обобщили теорему на пространства функций.  
    • В начале 20 века Фреше ввел термин «компактность» и сформулировал суть свойства Больцано–Вейерштрасса.  
  • Основные примеры

    • Любое конечное пространство компактно.  
    • Замкнутый единичный интервал [0,1] компактен.  
    • Замкнутые диски в двух измерениях также компактны.  
  • Определение компактности

    • Компактность определяется как свойство множества, в котором каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие.  
    • В евклидовых пространствах компактность эквивалентна замкнутости и ограниченности.  
    • В метрических пространствах компактность эквивалентна последовательной компактности и компактности в предельной точке.  
  • Эквивалентные определения компактности

    • Компактность эквивалентна наличию подосновы, линейности и счетной компактности.  
    • Компактность также эквивалентна наличию сходящихся сетей и фильтров.  
    • Компактность эквивалентна замкнутости и ограниченности подмножеств.  
  • Компактность в упорядоченных пространствах

    • Компактность эквивалентна наличию высших и нижних пределов у подмножеств.  
    • Компактность эквивалентна сходимости монотонных последовательностей.  
  • Компактность и непрерывные функции

    • Компактность эквивалентна псевдокомпактности, когда каждый максимальный идеал в кольце непрерывных функций имеет поле вычетов действительных чисел.  
    • Компактность также эквивалентна тому, что каждая точка естественного расширения бесконечно близка к некоторой точке исходного пространства.  
  • Достаточные условия компактности

    • Замкнутое подмножество компактного пространства является компактным.  
    • Конечное объединение компактных множеств является компактным.  
    • Непрерывное изображение компактного пространства является компактным.  
  • Свойства компактных пространств

    • В метризуемых пространствах компактность эквивалентна последовательной компактности.  
    • Конечное множество, наделенное любой топологией, является компактным.  
  • Компактные множества и хаусдорфовы пространства

    • В нехаусдорфовых пространствах замыкание компактного множества может быть некомпактным.  
    • В хаусдорфовых пространствах компактные подмножества являются полными.  
    • Непересекающиеся компактные подмножества хаусдорфова пространства имеют непересекающиеся открытые множества.  
    • Непрерывная биекция из компактного пространства в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.  
    • Компактное хаусдорфово пространство является нормальным и регулярным.  
  • Функциональные возможности и компактные пространства

    • Непрерывный образ компактного пространства является компактным.  
    • Прообраз компактного пространства под правильным отображением является компактным.  
  • Уплотнения и упорядоченные компактные пространства

    • Каждое топологическое пространство является открытым плотным подпространством компактного пространства.  
    • Непустое компактное подмножество действительных чисел имеет наибольший и наименьший элемент.  
    • Компактность упорядоченного множества с топологией порядка эквивалентна его полноте.  
  • Примеры компактных пространств

    • Любое конечное топологическое пространство компактно.  
    • Любое пространство с конечной топологией компактно.  
    • Любое локально компактное хаусдорфово пространство можно превратить в компактное, добавив одну точку.  
    • Замкнутый единичный интервал [0, 1] компактен.  
    • Открытый интервал (0, 1) не компактен.  
    • Множество рациональных чисел в замкнутом интервале [0, 1] не компактно.  
    • Набор R всех действительных чисел не компактен.  
    • Расширенная линия вещественных чисел компактна.  
    • Для каждого натурального числа n n-сфера компактна.  
    • Замкнутый единичный шар нормированного векторного пространства компактен.  
    • Набор Cantor компактен.  
    • Множество K всех функций f : R → [0, 1] компактно.  
    • Подмножество банахова пространства вещественнозначных непрерывных функций в компактном хаусдорфовом пространстве относительно компактно.  
    • Спектр любого ограниченного линейного оператора в банаховом пространстве компактен.  
    • Пространство борелевских вероятностных мер на компактном хаусдорфовом пространстве компактно.  
  • Алгебраические примеры

    • Топологические группы, такие как ортогональная группа, компактны.  
    • p-адические целые числа компактны.  
    • Глобальное поле K является дискретной аддитивной подгруппой своего кольца Адели, а фактор-пространство компактно.  
    • Спектр булевой алгебры компактен.  
    • Структурное пространство коммутативной унитальной банаховой алгебры компактно.  
    • Куб Гильберта компактен.  
    • Проконечная группа компактна.  

Полный текст статьи:

Компактное пространство

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх