Оглавление
- 1 Компактное пространство
- 1.1 Определение компактности
- 1.2 Последовательная компактность
- 1.3 Историческое развитие
- 1.4 Основные примеры
- 1.5 Определение компактности
- 1.6 Эквивалентные определения компактности
- 1.7 Компактность в упорядоченных пространствах
- 1.8 Компактность и непрерывные функции
- 1.9 Достаточные условия компактности
- 1.10 Свойства компактных пространств
- 1.11 Компактные множества и хаусдорфовы пространства
- 1.12 Функциональные возможности и компактные пространства
- 1.13 Уплотнения и упорядоченные компактные пространства
- 1.14 Примеры компактных пространств
- 1.15 Алгебраические примеры
- 1.16 Полный текст статьи:
- 2 Компактное пространство
Компактное пространство
-
Определение компактности
- Компактность — это свойство, обобщающее замкнутость и ограниченность подмножеств евклидова пространства.
- Компактное пространство не имеет «проколов» или «отсутствующих конечных точек».
- Примеры: закрытый интервал [0,1] компактен, а открытый интервал (0,1) нет.
-
Последовательная компактность
- Топологическое пространство последовательно компактно, если каждая бесконечная последовательность точек имеет бесконечную подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке.
- Теорема Больцано–Вейерштрасса утверждает, что подмножество евклидова пространства компактно в этом смысле тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
-
Историческое развитие
- В 19 веке Больцано и Вейерштрасс доказали теорему о сходимости последовательностей.
- В 1880-х годах Арзела и Асколи обобщили теорему на пространства функций.
- В начале 20 века Фреше ввел термин «компактность» и сформулировал суть свойства Больцано–Вейерштрасса.
-
Основные примеры
- Любое конечное пространство компактно.
- Замкнутый единичный интервал [0,1] компактен.
- Замкнутые диски в двух измерениях также компактны.
-
Определение компактности
- Компактность определяется как свойство множества, в котором каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие.
- В евклидовых пространствах компактность эквивалентна замкнутости и ограниченности.
- В метрических пространствах компактность эквивалентна последовательной компактности и компактности в предельной точке.
-
Эквивалентные определения компактности
- Компактность эквивалентна наличию подосновы, линейности и счетной компактности.
- Компактность также эквивалентна наличию сходящихся сетей и фильтров.
- Компактность эквивалентна замкнутости и ограниченности подмножеств.
-
Компактность в упорядоченных пространствах
- Компактность эквивалентна наличию высших и нижних пределов у подмножеств.
- Компактность эквивалентна сходимости монотонных последовательностей.
-
Компактность и непрерывные функции
- Компактность эквивалентна псевдокомпактности, когда каждый максимальный идеал в кольце непрерывных функций имеет поле вычетов действительных чисел.
- Компактность также эквивалентна тому, что каждая точка естественного расширения бесконечно близка к некоторой точке исходного пространства.
-
Достаточные условия компактности
- Замкнутое подмножество компактного пространства является компактным.
- Конечное объединение компактных множеств является компактным.
- Непрерывное изображение компактного пространства является компактным.
-
Свойства компактных пространств
- В метризуемых пространствах компактность эквивалентна последовательной компактности.
- Конечное множество, наделенное любой топологией, является компактным.
-
Компактные множества и хаусдорфовы пространства
- В нехаусдорфовых пространствах замыкание компактного множества может быть некомпактным.
- В хаусдорфовых пространствах компактные подмножества являются полными.
- Непересекающиеся компактные подмножества хаусдорфова пространства имеют непересекающиеся открытые множества.
- Непрерывная биекция из компактного пространства в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
- Компактное хаусдорфово пространство является нормальным и регулярным.
-
Функциональные возможности и компактные пространства
- Непрерывный образ компактного пространства является компактным.
- Прообраз компактного пространства под правильным отображением является компактным.
-
Уплотнения и упорядоченные компактные пространства
- Каждое топологическое пространство является открытым плотным подпространством компактного пространства.
- Непустое компактное подмножество действительных чисел имеет наибольший и наименьший элемент.
- Компактность упорядоченного множества с топологией порядка эквивалентна его полноте.
-
Примеры компактных пространств
- Любое конечное топологическое пространство компактно.
- Любое пространство с конечной топологией компактно.
- Любое локально компактное хаусдорфово пространство можно превратить в компактное, добавив одну точку.
- Замкнутый единичный интервал [0, 1] компактен.
- Открытый интервал (0, 1) не компактен.
- Множество рациональных чисел в замкнутом интервале [0, 1] не компактно.
- Набор R всех действительных чисел не компактен.
- Расширенная линия вещественных чисел компактна.
- Для каждого натурального числа n n-сфера компактна.
- Замкнутый единичный шар нормированного векторного пространства компактен.
- Набор Cantor компактен.
- Множество K всех функций f : R → [0, 1] компактно.
- Подмножество банахова пространства вещественнозначных непрерывных функций в компактном хаусдорфовом пространстве относительно компактно.
- Спектр любого ограниченного линейного оператора в банаховом пространстве компактен.
- Пространство борелевских вероятностных мер на компактном хаусдорфовом пространстве компактно.
-
Алгебраические примеры
- Топологические группы, такие как ортогональная группа, компактны.
- p-адические целые числа компактны.
- Глобальное поле K является дискретной аддитивной подгруппой своего кольца Адели, а фактор-пространство компактно.
- Спектр булевой алгебры компактен.
- Структурное пространство коммутативной унитальной банаховой алгебры компактно.
- Куб Гильберта компактен.
- Проконечная группа компактна.