Конечно порожденная абелева группа

• Определение и свойства конечно порожденных абелевых групп

  • Абелева группа G называется конечно порожденной, если она имеет конечное число образующих. 
  • Группа G является свободной абелевой, если она является прямой суммой конечного числа копий группы 
  • Z 
  • . 
  • Группа G является конечно порожденной тогда и только тогда, когда она является прямой суммой конечного числа циклических групп. 

• Примеры конечно порожденных абелевых групп

  • Группа рациональных чисел 
  • Q 
  • не является конечно порожденной, так как не существует рационального числа, которое можно было бы сгенерировать с помощью других рациональных чисел. 
  • Группа действительных чисел 
  • R 
  • и группа ненулевых действительных чисел 
  • ∗ 
  • также не являются конечно порожденными. 

• Классификация конечно порожденных абелевых групп

  • Каждая конечно порожденная абелева группа изоморфна прямой сумме первичных циклических групп и бесконечных циклических групп. 
  • Существует один и только один способ представить группу в виде первичной декомпозиции. 
  • Группа без кручения является свободной абелевой и может быть записана как прямая сумма инвариантных факторов. 

• История и авторитет фундаментальной теоремы

  • Фундаментальная теорема была доказана Гауссом, Кронекером, Фробениусом и Стикельбергером, а также Пуанкаре и другими. 
  • История и авторитет теоремы осложнены тем, что она была сформулирована до развития теории групп. 

• Следствия фундаментальной теоремы

  • Каждая конечно порожденная абелева группа без кручения является свободной абелевой. 
  • Каждая подгруппа и факторгруппа конечно порожденной абелевой группы также являются конечно порожденными. 
  • Абелевы группы с групповыми гомоморфизмами образуют абелеву категорию. 

• Неконечно порожденные абелевы группы

  • Не каждая абелева группа конечного ранга является конечно порожденной. 

• См. также

  • Композиционный ряд в теореме Йордана-Гельдера является неабелевым обобщением.