Оглавление
- 1 Квантовая система с двумя состояниями
- 1.1 Система с двумя состояниями
- 1.2 Математическая основа
- 1.3 Общее поведение
- 1.4 Аналитические решения
- 1.5 Эрмитовы операторы
- 1.6 Независимое от времени уравнение Шредингера
- 1.7 Собственные значения и векторы
- 1.8 Герметичность гамильтониана
- 1.9 Декомпозиция гамильтониана
- 1.10 Зависимость от времени
- 1.11 Формула Раби
- 1.12 Прецессия в поле
- 1.13 Прецессия вектора состояния
- 1.14 Пример прецессии
- 1.15 Эволюция в поле, зависящем от времени
- 1.16 Связь с уравнениями Блоха
- 1.17 Уравнение движения Блоха
- 1.18 Вывод уравнения
- 1.19 Применимость двухгосударственного формализма
- 1.20 Педагогическое значение
- 1.21 Дополнительные ресурсы
- 1.22 Полный текст статьи:
- 2 Квантовая система с двумя состояниями – Arc.Ask3.Ru
Квантовая система с двумя состояниями
-
Система с двумя состояниями
- Квантовая система, существующая в суперпозиции двух независимых состояний
- Гильбертово пространство двумерное
- Полный базис состоит из двух состояний
-
Математическая основа
- Линейные дифференциальные уравнения и линейная алгебра двумерных пространств
- Динамика системы может быть решена аналитически
-
Общее поведение
- Амплитуда волновой функции колеблется между двумя состояниями
- Пример: спин частицы со спином 1/2
-
Аналитические решения
- Представление состояния как суперпозиции базисных состояний
- Вектор состояния как координата в двумерном гильбертовом пространстве
-
Эрмитовы операторы
- Энергия связана с эрмитовыми операторами
- Гамильтониан H как эрмитова матрица 2 × 2
-
Независимое от времени уравнение Шредингера
- Уравнение для определения собственных состояний
- Матричное уравнение для собственных значений и векторов
-
Собственные значения и векторы
- Собственные значения гамильтониана как допустимые уровни энергии
- Разложение гамильтониана в произведение матриц
-
Герметичность гамильтониана
- Собственные значения являются реальными
- Собственные векторы представляют стационарные состояния
-
Декомпозиция гамильтониана
- Гамильтониан системы с двумя состояниями может быть сжат до H = α ⋅ σ0 + r ⋅ σ.
- Вектор r задается через (β, γ, δ), а σ через (σ1, σ2, σ3).
- Это представление упрощает анализ временной эволюции и использование с другими представлениями.
-
Зависимость от времени
- Уравнение Шредингера для зависящего от времени гамильтониана: iℏ∂t|ψ⟩ = H|ψ⟩.
- Решение: c(t) = e−iHt/ℏc0 = U(t)c0, где U(t) — матрица временной эволюции.
- U(t) унитарна и может быть выражена через экспоненту матрицы.
-
Формула Раби
- Вероятность занятия состояния i: P(t) = |c(t)|2 = |U(t)c0|2.
- Вероятность для исходного состояния: P(t) = cos2(Ωt) + sin2(Ωt)Δ2/Ω2.
- Частота Ω = |r|/ℏ, ΩR = (β + iγ)/ℏ, Δ = δ/ℏ.
-
Прецессия в поле
- Гамильтониан взаимодействия: H = −μ⋅B = −μσ⋅B.
- Решение: ψ(t) = eωtσ⋅n^ψ(0), где ω = μB/ℏ.
- Оператор временной эволюции: eωtσ⋅n^ = (eωt, 0, 0, e−ωt).
- Прецессия вокруг оси, определяемой магнитным полем.
-
Прецессия вектора состояния
- Вектор состояния может быть представлен на сфере Блоха.
- Прецессия вектора состояния эквивалентна прецессии вектора на сфере Блоха.
-
Пример прецессии
- Вектор состояния ψ(0) = 1/√2 (1, 1) прецессирует вокруг z-оси.
- Вектор состояния ψ(t) = cos(2ωt), sin(2ωt), 0 прецессирует вокруг x-оси.
-
Эволюция в поле, зависящем от времени
- Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) использует зависящее от времени уравнение Шредингера.
- Уравнение Шредингера для ЯМР: ∂ψ/∂t = i(ω1σx + (ω0 + ωr/2)σz)ψ.
- Решение уравнения: вектор состояния прецессирует вокруг (ω1, 0, ω0 + ωr/2).
-
Связь с уравнениями Блоха
- Оптические уравнения Блоха могут быть получены из уравнения Шредингера.
- Умножение на матрицу Паули и сопряженная транспозиция волновой функции приводят к уравнениям Блоха.
-
Уравнение движения Блоха
- Уравнение движения Блоха описывает динамику вращения в магнитном поле.
- Уравнение может быть выражено через кросс-продукт.
-
Вывод уравнения
- Уравнение выводится из соображений времени эволюции оператора углового импульса.
- Уравнение включает феноменологическую релаксацию.
-
Применимость двухгосударственного формализма
- Двухгосударственные системы являются самыми простыми нетривиальными квантовыми системами.
- Многогосударственные системы могут рассматриваться как двухгосударственные, если интересны только два состояния.
- Эффективный двухгосударственный формализм применим, когда система имеет два уровня, которые эффективно декогерентируются.
-
Педагогическое значение
- Двухгосударственный формализм используется для иллюстрации квантовых механических феноменов.
- Он применяется в химии, мазерах, лазерах и квантовых вычислениях.
-
Дополнительные ресурсы
- Лекции Фейнмана по физике.
- Курсы по квантовой механике и TIFR.
- Заметки по квантовой механике для Колумбийского университета.
- Книжная версия квантовой механики.