Оглавление
- 1 Линейная алгебра
- 1.1 История линейной алгебры
- 1.2 Векторные пространства
- 1.3 Матрицы
- 1.4 Определение основы
- 1.5 Линейные отображения и матрицы
- 1.6 Линейные системы
- 1.7 Эндоморфизмы и квадратные матрицы
- 1.8 Собственные значения и векторы
- 1.9 Двойственность
- 1.10 Двойная карта
- 1.11 Внутренние произведения
- 1.12 Основные понятия линейной алгебры
- 1.13 Связь с геометрией
- 1.14 Использование и области применения
- 1.15 Гидромеханика, гидродинамика и теплоэнергетические системы
- 1.16 Расширения и обобщения
- 1.17 Модули над целыми числами и абелевы группы
- 1.18 Линейные уравнения и системы линейных уравнений
- 1.19 Многолинейная алгебра и тензоры
- 1.20 Топологические векторные пространства
- 1.21 Функциональный анализ
- 1.22 Дополнительные ресурсы
- 1.23 Полный текст статьи:
- 2 Линейная алгебра
Линейная алгебра
-
История линейной алгебры
- Линейная алгебра возникла в Китае с методом исключения по Гауссу.
- В Европе линейная алгебра развивалась с введением координат Декартом и использованием детерминантов Лейбницем.
- Гаусс подробно описал метод исключения, а Крамер ввел правило Крамера.
- Грассман опубликовал “Теорию расширения” в 1844 году, а Сильвестр ввел термин “матрица” в 1848 году.
- Кейли ввел матричное умножение и обратную матрицу в 1856 году.
- Пирс опубликовал “Линейную ассоциативную алгебру” в 1872 году.
- Максвелл ввел теорию силового поля и дифференциальную геометрию.
- Пеано дал первое современное определение векторного пространства в 1888 году.
-
Векторные пространства
- Векторное пространство – это множество с двумя двоичными операциями: сложение и скалярное умножение.
- Линейные карты – это отображения между векторными пространствами, сохраняющие структуру.
- Изоморфизм – это биективное линейное отображение, сохраняющее линейную структуру.
- Подпространства – это подмножества, которые сами являются векторными пространствами.
- Линейно независимые множества образуют базис векторного пространства.
- Размерность векторного пространства – это мощность его базиса.
-
Матрицы
- Матрицы позволяют манипулировать конечномерными векторными пространствами и линейными отображениями.
- Матрицы используются для решения систем линейных уравнений и моделирования природных явлений.
-
Определение основы
- Карта является биекцией из Fm в V
- Изоморфизм векторных пространств при стандартной структуре
- Вектор представляется координатным вектором или матрицей столбцов
-
Линейные отображения и матрицы
- Линейное отображение f от W до V определяется значениями в базисе
- Матрица f представляется списком матриц столбцов
- Матричное умножение соответствует композиции линейных отображений
- Две матрицы подобны, если их можно преобразовать с помощью элементарных операций
-
Линейные системы
- Конечный набор линейных уравнений с конечным набором переменных
- Системы линейных уравнений составляют основу линейной алгебры
- Гауссово исключение используется для решения систем
-
Эндоморфизмы и квадратные матрицы
- Линейный эндоморфизм сопоставляет векторное пространство с самим собой
- Квадратная матрица размера n представляет эндоморфизм
- Определитель матрицы обратим тогда и только тогда, когда матрица обратима
-
Собственные значения и векторы
- Собственный вектор f – ненулевой вектор, для которого f(v) = av
- Собственное значение f – скаляр a, для которого det(M − aI) = 0
- Эндоморфизм и матрица диагонализуемы, если характеристический многочлен не имеет квадратов
-
Двойственность
- Линейная форма – линейное отображение из V в F
- Двойственное пространство V* определяется линейными формами
- Каноническое отображение из V в V* является изоморфизмом в конечномерном случае
-
Двойная карта
- Двойственная карта f* определяется как составная функция h ∈ f
- Матрица f* по двойственным базисам является транспонированной матрицей M
-
Внутренние произведения
- Внутреннее произведение придает векторному пространству геометрическую структуру
- Внутреннее произведение удовлетворяет аксиомам сопряженной симметрии, линейности в первом аргументе и линейности в сумме
-
Основные понятия линейной алгебры
- Линейная алгебра изучает векторные пространства и линейные отображения между ними.
- Внутренний продукт позволяет определить длину вектора и косинус угла между векторами.
- Ортонормированный базис облегчает работу с векторами.
-
Связь с геометрией
- Линейная алгебра тесно связана с геометрией, начиная с декартовых координат.
- Геометрические преобразования могут быть определены через линейные карты.
- Геометрические пространства могут быть определены через векторные пространства.
-
Использование и области применения
- Линейная алгебра используется в функциональном анализе, научных вычислениях, геометрии окружающего пространства и изучении сложных систем.
- В научных вычислениях линейная алгебра оптимизирована с помощью BLAS и LAPACK.
- В геометрии окружающего пространства линейная алгебра используется для моделирования и анализа.
- В изучении сложных систем линейные модели применяются для параметризации нелинейных систем.
-
Гидромеханика, гидродинамика и теплоэнергетические системы
- Линейная алгебра применяется в гидромеханике для решения систем дифференциальных уравнений.
- В гидродинамике линейная алгебра используется в вычислительной гидродинамике для расчета расхода жидкости и теплопередачи.
- В теплоэнергетике линейная алгебра применяется для моделирования и оптимизации энергосистем.
-
Расширения и обобщения
- Теория модулей рассматривает модули над кольцами вместо полей.
- Модули могут не иметь базиса, но гомоморфизмы модулей могут быть представлены матрицами.
- Векторные пространства полностью характеризуются размерностью, но для модулей такой полной классификации не существует.
-
Модули над целыми числами и абелевы группы
- Модули над целыми числами могут быть отождествлены с абелевыми группами.
- Умножение на целое число может быть отождествлено с повторным сложением.
- Большая часть теории абелевых групп распространяется на модули в основной идеальной области.
-
Линейные уравнения и системы линейных уравнений
- Существуют алгоритмы решения линейных уравнений и систем линейных уравнений для различных колец.
- Эти алгоритмы имеют вычислительную сложность, которая выше, чем в полевых условиях.
-
Многолинейная алгебра и тензоры
- В полилинейной алгебре рассматриваются многомерные линейные преобразования.
- Дуальное пространство V* состоит из линейных отображений f : V → F.
- Многолинейные отображения T : Vn → F описываются тензорными произведениями элементов V*.
-
Топологические векторные пространства
- Векторные пространства требуют дополнительной структуры для управления.
- Нормированное векторное пространство имеет норму, метрику и топологию.
- Полное нормированное векторное пространство называется банаховым пространством.
- Гильбертово пространство имеет дополнительную структуру внутреннего произведения.
-
Функциональный анализ
- Функциональный анализ применяет методы линейной алгебры и математического анализа.
- Центральные объекты изучения: пространства Lp и L2.
- Функциональный анализ важен для квантовой механики, теории дифференциальных уравнений и цифровой обработки сигналов.
-
Дополнительные ресурсы
- Видеолекции по линейной алгебре Массачусетского технологического института.
- Международное общество линейной алгебры.
- Линейная алгебра в MathWorld.
- Онлайн-книги по линейной алгебре.