Линейная карта

Оглавление1 Линейная карта1.1 Определение линейного отображения1.2 Свойства линейных отображений1.3 Примеры линейных отображений1.4 Линейные расширения1.5 Линейные отображения и их расширения1.6 Матрицы […]

Линейная карта

  • Определение линейного отображения

    • Линейное отображение (линейная карта) — это отображение между двумя векторными пространствами, сохраняющее операции сложения и скалярного умножения.  
    • Линейные отображения также называются линейными преобразованиями, гомоморфизмами векторного пространства или линейными функциями.  
    • Линейные изоморфизмы — это линейные отображения, которые являются биекциями.  
    • Линейные эндоморфизмы — это линейные отображения между одинаковыми векторными пространствами.  
  • Свойства линейных отображений

    • Линейные отображения сохраняют линейные комбинации векторов.  
    • Линейные отображения отображают начало координат в начало координат.  
    • Линейные отображения могут быть представлены в виде матриц.  
  • Примеры линейных отображений

    • Функция f: R → R, x ↦ cx, является линейным отображением.  
    • Гомотетия v ↦ cv в центре начала координат векторного пространства является линейным отображением.  
    • Нулевая карта x ↦ 0 является линейным отображением.  
    • Идентификационная карта любого модуля является линейным оператором.  
    • Дифференцирование и определенный интеграл определяют линейные отображения.  
    • Неопределенный интеграл определяет линейное отображение из интегрируемых функций в дифференцируемые.  
    • Ожидаемое значение случайной величины является линейным отображением.  
  • Линейные расширения

    • Линейное расширение функции f: S → Y до X — это линейная карта F: X → Y, определенная на X и берущая свои значения из кодовой области f.  
    • Линейное продолжение f для всех X существует, если f: S → Y является линейным отображением.  
  • Линейные отображения и их расширения

    • Линейное отображение f: S → Y может быть расширено до линейной карты F: span(S) → Y, если для всех n, c1, …, cn, s1, …, sn, 0 = c1s1 + … + cn sn, 0 = c1f(s1) + … + cn f(sn).  
    • Если линейное продолжение существует, оно уникально и действует для всех n, c1, …, cn, s1, …, sn.  
    • Если S линейно независима, каждая функция f: S → Y имеет линейное продолжение.  
  • Матрицы и линейные отображения

    • Линейные отображения могут быть представлены матрицами.  
    • Матрицы позволяют выполнять конкретные вычисления.  
    • Матрицы дают примеры линейных отображений.  
  • Примеры линейных отображений

    • В двумерном пространстве линейные отображения описываются матрицами 2 × 2.  
    • Примеры включают повороты, отражения, масштабирование и проекции.  
  • Композиция и векторное пространство линейных отображений

    • Композиция линейных карт является линейной.  
    • Класс всех векторных пространств над заданным полем K вместе с K-линейными отображениями образует категорию.  
    • Обратная линейная карта, если она определена, снова является линейной.  
    • Поточная сумма линейных карт также линейна.  
    • Линейные отображения образуют векторное пространство над K.  
  • Линейные отображения и алгебры

    • Линейные отображения образуют ассоциативную алгебру при составлении.  
    • Эндоморфизмы образуют кольцо с единичным элементом.  
    • Автоморфизмы образуют группу, изоморфную общей линейной группе.  
  • Ядро и образ

    • Ядро и образ линейного отображения определяются как подпространства.  
    • Теорема о нулевом ранге связывает размерности ядра и образа.  
    • Ранг и ничтожность линейного отображения определяются через матрицы.  
  • Коядро

    • Коядро линейного отображения определяется как частное пространство.  
    • Коядро и ядро связаны точной последовательностью.  
    • Размерность коядра и ранга в сумме определяют размерность целевого пространства.  
  • Индекс

    • Индекс линейного отображения определяется как разница между размерностями ядра и коядра.  
    • Индекс важен для изучения операторов Фредгольма.  
  • Алгебраические классификации

    • Мономорфизм: отображение является взаимно однозначным и обратимым влево.  
    • Эпиморфизм: отображение является сюръективным и обратимым вправо.  
    • Изоморфизм: отображение обратимо как влево, так и вправо.  
    • Нильпотентный эндоморфизм: n-я итерация равна нулю.  
    • Идемпотентный эндоморфизм: T2 = T.  
    • Масштабирующее преобразование: T = kI для некоторого скаляра k.  
  • Изменение основы

    • Линейное отображение преобразует векторы в базисе B.  
    • Обратное преобразование равно B-1[v’].  
  • Линейные отображения и тензоры

    • Линейные отображения называются объектами с 1-ко-1-противоположными вариантами или тензорами типа (1, 1).  
    • Матрица в новом базисе равна A’ = B−1AB, где B — матрица данного базиса.  
  • Непрерывность линейных преобразований

    • Линейное преобразование между топологическими векторными пространствами может быть непрерывным.  
    • Если область и кодомен совпадают, это будет непрерывный линейный оператор.  
    • Линейный оператор в нормированном линейном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.  
    • В бесконечномерной области могут быть прерывистые линейные операторы.  
    • Пример прерывистого линейного преобразования: дифференцирование в пространстве гладких функций.  
  • Приложения линейных отображений

    • Линейные отображения используются для геометрических преобразований в компьютерной графике.  
    • Они также применяются для описания изменений в математическом анализе и теории относительности.  
    • Оптимизация компилятором кода с вложенным циклом и распараллеливание методов компилятора также используют линейные отображения.  
  • Связанные понятия

    • Аддитивный гомоморфизм отображения — Z-модуля  
    • Антилинейное отображение — сопряженное однородное аддитивное отображение  
    • Изогнутая функция — особый тип логической функции  
    • Ограниченное операторно-линейное преобразование между топологическими векторными пространствами  
    • Функциональное уравнение Коши — функциональное уравнение  
    • Непрерывный линейный оператор  
    • Линейный функционал — линейная карта из векторного пространства в его поле скалярных страниц  
    • Линейная изометрия — математическое преобразование с сохранением расстояния  
    • Категория матриц  
    • Квазилинеаризация  

Полный текст статьи:

Линейная карта

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх