Оглавление
- 1 Линейная карта
- 1.1 Определение линейного отображения
- 1.2 Свойства линейных отображений
- 1.3 Примеры линейных отображений
- 1.4 Линейные расширения
- 1.5 Линейные отображения и их расширения
- 1.6 Матрицы и линейные отображения
- 1.7 Примеры линейных отображений
- 1.8 Композиция и векторное пространство линейных отображений
- 1.9 Линейные отображения и алгебры
- 1.10 Ядро и образ
- 1.11 Коядро
- 1.12 Индекс
- 1.13 Алгебраические классификации
- 1.14 Изменение основы
- 1.15 Линейные отображения и тензоры
- 1.16 Непрерывность линейных преобразований
- 1.17 Приложения линейных отображений
- 1.18 Связанные понятия
- 1.19 Полный текст статьи:
- 2 Линейная карта
Линейная карта
-
Определение линейного отображения
- Линейное отображение (линейная карта) — это отображение между двумя векторными пространствами, сохраняющее операции сложения и скалярного умножения.
- Линейные отображения также называются линейными преобразованиями, гомоморфизмами векторного пространства или линейными функциями.
- Линейные изоморфизмы — это линейные отображения, которые являются биекциями.
- Линейные эндоморфизмы — это линейные отображения между одинаковыми векторными пространствами.
-
Свойства линейных отображений
- Линейные отображения сохраняют линейные комбинации векторов.
- Линейные отображения отображают начало координат в начало координат.
- Линейные отображения могут быть представлены в виде матриц.
-
Примеры линейных отображений
- Функция f: R → R, x ↦ cx, является линейным отображением.
- Гомотетия v ↦ cv в центре начала координат векторного пространства является линейным отображением.
- Нулевая карта x ↦ 0 является линейным отображением.
- Идентификационная карта любого модуля является линейным оператором.
- Дифференцирование и определенный интеграл определяют линейные отображения.
- Неопределенный интеграл определяет линейное отображение из интегрируемых функций в дифференцируемые.
- Ожидаемое значение случайной величины является линейным отображением.
-
Линейные расширения
- Линейное расширение функции f: S → Y до X — это линейная карта F: X → Y, определенная на X и берущая свои значения из кодовой области f.
- Линейное продолжение f для всех X существует, если f: S → Y является линейным отображением.
-
Линейные отображения и их расширения
- Линейное отображение f: S → Y может быть расширено до линейной карты F: span(S) → Y, если для всех n, c1, …, cn, s1, …, sn, 0 = c1s1 + … + cn sn, 0 = c1f(s1) + … + cn f(sn).
- Если линейное продолжение существует, оно уникально и действует для всех n, c1, …, cn, s1, …, sn.
- Если S линейно независима, каждая функция f: S → Y имеет линейное продолжение.
-
Матрицы и линейные отображения
- Линейные отображения могут быть представлены матрицами.
- Матрицы позволяют выполнять конкретные вычисления.
- Матрицы дают примеры линейных отображений.
-
Примеры линейных отображений
- В двумерном пространстве линейные отображения описываются матрицами 2 × 2.
- Примеры включают повороты, отражения, масштабирование и проекции.
-
Композиция и векторное пространство линейных отображений
- Композиция линейных карт является линейной.
- Класс всех векторных пространств над заданным полем K вместе с K-линейными отображениями образует категорию.
- Обратная линейная карта, если она определена, снова является линейной.
- Поточная сумма линейных карт также линейна.
- Линейные отображения образуют векторное пространство над K.
-
Линейные отображения и алгебры
- Линейные отображения образуют ассоциативную алгебру при составлении.
- Эндоморфизмы образуют кольцо с единичным элементом.
- Автоморфизмы образуют группу, изоморфную общей линейной группе.
-
Ядро и образ
- Ядро и образ линейного отображения определяются как подпространства.
- Теорема о нулевом ранге связывает размерности ядра и образа.
- Ранг и ничтожность линейного отображения определяются через матрицы.
-
Коядро
- Коядро линейного отображения определяется как частное пространство.
- Коядро и ядро связаны точной последовательностью.
- Размерность коядра и ранга в сумме определяют размерность целевого пространства.
-
Индекс
- Индекс линейного отображения определяется как разница между размерностями ядра и коядра.
- Индекс важен для изучения операторов Фредгольма.
-
Алгебраические классификации
- Мономорфизм: отображение является взаимно однозначным и обратимым влево.
- Эпиморфизм: отображение является сюръективным и обратимым вправо.
- Изоморфизм: отображение обратимо как влево, так и вправо.
- Нильпотентный эндоморфизм: n-я итерация равна нулю.
- Идемпотентный эндоморфизм: T2 = T.
- Масштабирующее преобразование: T = kI для некоторого скаляра k.
-
Изменение основы
- Линейное отображение преобразует векторы в базисе B.
- Обратное преобразование равно B-1[v’].
-
Линейные отображения и тензоры
- Линейные отображения называются объектами с 1-ко-1-противоположными вариантами или тензорами типа (1, 1).
- Матрица в новом базисе равна A’ = B−1AB, где B — матрица данного базиса.
-
Непрерывность линейных преобразований
- Линейное преобразование между топологическими векторными пространствами может быть непрерывным.
- Если область и кодомен совпадают, это будет непрерывный линейный оператор.
- Линейный оператор в нормированном линейном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
- В бесконечномерной области могут быть прерывистые линейные операторы.
- Пример прерывистого линейного преобразования: дифференцирование в пространстве гладких функций.
-
Приложения линейных отображений
- Линейные отображения используются для геометрических преобразований в компьютерной графике.
- Они также применяются для описания изменений в математическом анализе и теории относительности.
- Оптимизация компилятором кода с вложенным циклом и распараллеливание методов компилятора также используют линейные отображения.
-
Связанные понятия
- Аддитивный гомоморфизм отображения — Z-модуля
- Антилинейное отображение — сопряженное однородное аддитивное отображение
- Изогнутая функция — особый тип логической функции
- Ограниченное операторно-линейное преобразование между топологическими векторными пространствами
- Функциональное уравнение Коши — функциональное уравнение
- Непрерывный линейный оператор
- Линейный функционал — линейная карта из векторного пространства в его поле скалярных страниц
- Линейная изометрия — математическое преобразование с сохранением расстояния
- Категория матриц
- Квазилинеаризация