Линейное уравнение над кольцом

• В алгебре изучаются линейные уравнения и системы линейных уравнений над полем. 
• Статья посвящена проблемам, где «поле» заменяется «коммутативным кольцом» или «нетеровой интегральной областью». 
• Задача идеального членства состоит в том, чтобы решить, есть ли у уравнения решение с заданными коэффициентами и указать один из них. 
• Задача сизигии состоит в обеспечении системы генераторов модуля сизигий из заданных элементов. 
• Кольцо, в котором существуют алгоритмы для арифметических операций и решения вышеуказанных задач, называется вычислимым кольцом или эффективным кольцом. 
• Линейная алгебра на кольце эффективна, если существуют алгоритмы для сложения, вычитания, умножения и вычисления мультипликативных обратных чисел. 
• Над целыми числами или главной идеальной областью существуют алгоритмы для решения всех задач, рассмотренных в статье. 
• Линейная алгебра эффективна на кольце многочленов k[x1, …, xn] над полем k.