Пространство Lp

• Определение и свойства ℓp-пространства

  • ℓp-пространство — это векторное пространство, состоящее из последовательностей с нормой ℓp. 
  • ℓp-пространство является полным метрическим пространством с метрикой, определенной как сумма абсолютных значений компонент. 
  • ℓp-пространство обладает свойством полноты, что означает, что любая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность. 

• Примеры и свойства

  • Примеры включают пространство последовательностей с нормой ℓ1, состоящее из абсолютно сходящихся рядов, и пространство суммируемых по квадратам последовательностей ℓ2. 
  • ℓ∞-пространство состоит из ограниченных последовательностей. 
  • ℓp-пространство не является локально выпуклым для p < 1, что означает, что оно не удовлетворяет аксиомам выпуклого пространства. 

• p-норма и ее обобщения

  • p-норма — это функция, которая измеряет длину последовательности в ℓp-пространстве. 
  • p-норма может быть обобщена на векторы с бесконечным числом компонент, образуя пространство ℓp. 

• Применение в различных областях

  • p-норма находит применение в функциональном анализе, теории вероятностей, гармоническом анализе и других областях. 
  • Ненулевая «норма» счета используется в научных вычислениях, теории информации и статистике. 

• Проблемы и ограничения

  • Существуют сложности с определением p-нормы для p < 1, так как ряд справа может не сходиться. 
  • Пространство ℓp не является локально выпуклым для p < 1. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.