Оглавление
- 1 Пространство Lp
- 1.1 Определение Lp-пространств
- 1.2 p-нормы и их свойства
- 1.3 Соотношения между p-нормами
- 1.4 p-нормы для 0 < p < 1
- 1.5 ℓp-нормы и пространства последовательностей
- 1.6 Определение ℓp-пространств
- 1.7 ℓ∞-пространства
- 1.8 ℓp(I)-пространства
- 1.9 Lp-пространства и интегралы Лебега
- 1.10 Полунормированные пространства
- 1.11 Интегрируемая степень и полунорма
- 1.12 Нулевые наборы и фактор-векторное пространство
- 1.13 Нормированное пространство Lp
- 1.14 Особые случаи и обобщения
- 1.15 Определение и свойства Lp
- 1.16 Неравенство Гельдера
- 1.17 Атомное разложение
- 1.18 Двойственные пространства
- 1.19 Двойственный характер L∞
- 1.20 Пространство L^p(μ)
- 1.21 Встраивания
- 1.22 Плотные подпространства
- 1.23 Замкнутые подпространства
- 1.24 Приложения
- 1.25 Неравенство Хаусдорфа–Юнга
- 1.26 Гильбертовы пространства
- 1.27 Обобщения и расширения
- 1.28 Lp-пространства и их свойства
- 1.29 Взвешенные Lp-пространства
- 1.30 Lp-пространства на многообразиях
- 1.31 Векторнозначные Lp-пространства
- 1.32 L0 пространство измеримых функций
- 1.33 Пространство L0(Rn, gλ)
- 1.34 Абсолютно интегрируемая функция
- 1.35 Пространство Бохнера
- 1.36 Пространство Орлича
- 1.37 Пространство Харди
- 1.38 Теорема Рисса–Торина
- 1.39 Среднее значение по Гельдеру
- 1.40 Пространство Гельдера
- 1.41 Среднеквадратичный корень
- 1.42 Наименьшие абсолютные отклонения
- 1.43 Локально интегрируемая функция
- 1.44 L1(G)
- 1.45 Спектральный анализ методом наименьших квадратов
- 1.46 Список банаховых пространств
- 1.47 L-бесконечность
- 1.48 Сумма Lp
- 1.49 Пространство в сантиметрах
- 1.50 Рекомендации
- 1.51 Полный текст статьи:
- 2 Lp-космос
Пространство Lp
-
Определение Lp-пространств
- Lp-пространства определяются с использованием p-нормы для конечномерных векторных пространств.
- Названы в честь Анри Лебега, хотя впервые представлены Фриджесом Риссом.
- Важный класс банаховых пространств в функциональном анализе и топологических векторных пространствах.
-
p-нормы и их свойства
- Евклидова норма является 2-нормой.
- L∞-норма (максимальная норма) является пределом p-норм при p → ∞.
- p-нормы удовлетворяют свойствам функции длины, что делает их нормированными векторными пространствами.
-
Соотношения между p-нормами
- Евклидова норма ограничена 1-нормой.
- 1-норма ограничена n-нормой.
- Для 0 < r < p: p-норма ограничена r-нормой.
-
p-нормы для 0 < p < 1
- Формула для p-нормы не определяет норму, но определяет F-норму.
- F-норма определяет метрику, которая делает пространство локально выпуклым.
-
ℓp-нормы и пространства последовательностей
- p-нормы могут быть распространены на бесконечные последовательности, образуя пространство ℓp.
- ℓ1, ℓ2 и ℓ∞ являются важными пространствами последовательностей.
- Пространство последовательностей имеет структуру векторного пространства с скалярным сложением и умножением.
-
Определение ℓp-пространств
- ℓp-пространства определяются как множества бесконечных последовательностей действительных или комплексных чисел с конечной p-нормой.
- p-норма определяется как сумма квадратов модулей элементов последовательности, возведенных в степень p.
- ℓp-пространства образуют банаховы пространства с нормой, определенной выше.
-
ℓ∞-пространства
- ℓ∞-пространства определяются как множества ограниченных последовательностей.
- Норма ℓ∞-пространств определяется как супремум модулей элементов последовательности.
- ℓ∞-пространства также образуют банаховы пространства.
-
ℓp(I)-пространства
- ℓp(I)-пространства определяются как множества последовательностей с конечной p-нормой на конечном или счетно бесконечном множестве индексов I.
- ℓp(I)-нормы определяются аналогично ℓp-нормам, но с использованием суммы квадратов модулей элементов последовательности на конечном или счетно бесконечном множестве индексов.
-
Lp-пространства и интегралы Лебега
- Lp-пространства определяются как множества измеримых функций с конечной p-нормой, интегрируемой по Лебегу.
- Lp-нормы определяются как интегралы абсолютной величины функций, возведенных в степень p.
- L∞-нормы определяются как нижние границы абсолютных значений функций, ограниченных почти везде.
-
Полунормированные пространства
- Lp-интегрируемые функции с высокой степенью образуют векторное пространство при поточечном сложении и скалярном умножении.
- Сумма двух p-интегрируемых функций с высокой степенью снова является p-интегрируемой функцией с высокой степенью.
-
Интегрируемая степень и полунорма
- Интегрируемая степень следует из неравенства Минковского.
- Полунорма удовлетворяет неравенству треугольника и абсолютной однородности.
- Полунорма не является нормой, если существуют измеримые функции с нулевым значением.
-
Нулевые наборы и фактор-векторное пространство
- Нулевые наборы полунормы одинаковы для всех p.
- Фактор-векторное пространство Lp(S, μ) / N является нормированным пространством.
- Смежные классы в Lp(S, μ) / N образуют векторное пространство.
-
Нормированное пространство Lp
- Lp пространство является банаховым пространством для 1 ≤ p ≤ ∞.
- Lp пространство изоморфно нормированному фактор-пространству через каноническую карту.
-
Особые случаи и обобщения
- Для 1 ≤ p ≤ ∞, ℓp пространства являются частным случаем Lp пространств.
- ℓp(S) пространство определяется для любого набора S с счетной мерой.
- L2 пространство является единственным Гильбертовым пространством среди Lp пространств.
-
Определение и свойства Lp
- Lp определяется как пространство функций, интегрируемых по квадрату с нормой ‖f‖p = Np(f)1/p.
- Lp удовлетворяет обратному неравенству Минковского и является F-пространством.
- Lp не является локально выпуклым для большинства разумных пространств измерений.
-
Неравенство Гельдера
- Если f ∈ Lp(S, μ) и g ∈ Lq(S, μ), то fg ∈ Lr(S, μ) и ‖fg‖r ≤ ‖f‖p‖g‖q.
- Это неравенство оптимально, так как если f удовлетворяет условию, то f ∈ Lp(S, μ).
-
Атомное разложение
- Каждый неотрицательный f ∈ Lp(μ) имеет атомарную декомпозицию.
- Атомы fn имеют попарно непересекающиеся поддержки и ‖fn‖∞ ≤ 2−n/p.
-
Двойственные пространства
- Lp(μ) для 1 < p < ∞ имеет естественное изоморфизм с Lq(μ), где 1/p + 1/q = 1.
- Изоморфизм κp: Lq(μ) → Lp(μ)∗ является непрерывным линейным отображением.
- Lp(μ) рефлексивно для 1 < p < ∞.
-
Двойственный характер L∞
- L∞(μ) изометрически изоморфен L1(μ)∗ для сигма-конечных мер.
- Элементы L∞(μ)∗ имеют более тонкий двойственный характер.
-
Пространство L^p(μ)
- Пространство L^p(μ) может быть идентифицировано с помощью ограниченных конечно-аддитивных мер со знаком на S, которые являются абсолютно непрерывными по отношению к μ.
- В случае аксиомы выбора, это пространство больше, чем L^1(μ), за исключением некоторых тривиальных случаев.
-
Встраивания
- В разговорной речи, если 1 ≤ p < q ≤ ∞, то L^p(S, μ) содержит функции, которые являются более локально сингулярными, в то время как элементы L^q(S, μ) могут быть более разбросанными.
- Непрерывные функции в L^1 могут взорваться рядом с 0, но должны достаточно быстро затухать до бесконечности.
- Непрерывные функции в L^∞ не должны разлагаться, но и раздувание не допускается.
-
Плотные подпространства
- При построении интеграла векторное пространство интегрируемых простых функций является плотным в L^p(S, Σ, μ).
- Если S является нормальным топологическим пространством и Σ его борелевская θ-алгебра, то пространство p-интегрируемых непрерывных функций плотно в L^p(S, Σ, μ).
-
Замкнутые подпространства
- Если (S, Σ, μ) является вероятностным пространством и V ⊂ L^∞(μ) является замкнутым подпространством L^p(μ), то V конечномерно.
-
Приложения
- В статистике показатели центральной тенденции и статистической дисперсии определяются в терминах L^p метрики.
- В регрессии с применением штрафных санкций “штраф L1” и “штраф L2” относятся к наказанию за L^1 и L^2 нормы вектора значений параметров решения.
- Методы, использующие штрафной коэффициент L1, поощряют разреженные решения.
-
Неравенство Хаусдорфа–Юнга
- Преобразование Фурье отображает L^p(R) в L^q(R) для 1 ≤ p ≤ 2 и 1/p + 1/q = 1.
- Если p > 2, преобразование Фурье не преобразуется в L^q.
-
Гильбертовы пространства
- Пространства L^2 и ℓ^2 являются гильбертовыми пространствами.
- Каждое гильбертово пространство изометрически изоморфно ℓ^2(E).
-
Обобщения и расширения
- Слабый L^p определяется через функцию распределения f.
- Слабые L^p совпадают с пространствами Лоренца L^p,∞.
- L^p,w-норма не является истинной нормой, но ‖f‖p,w ≤ ‖f‖p.
-
Lp-пространства и их свойства
- Lp-пространства определяются как пространства функций, интегрируемых по мере.
- Lp-нормы могут быть определены различными способами, включая интеграл по мере и супремум.
- Lp-пространства являются полными, если мера конечна.
-
Взвешенные Lp-пространства
- Взвешенные Lp-пространства определяются с помощью меры, взвешенной по функции.
- Норма для взвешенных Lp-пространств определяется интегралом по мере, взвешенной по функции.
- Взвешенные Lp-пространства используются в гармоническом анализе и изучении сингулярных интегралов.
-
Lp-пространства на многообразиях
- Lp-пространства на многообразиях определяются с помощью плотностей.
- Эти пространства используются в теории интегрируемых функций на многообразиях.
-
Векторнозначные Lp-пространства
- Векторнозначные Lp-пространства определяются как тензорные произведения Lp-пространств на локально выпуклое пространство.
- Эти пространства могут быть наделены различными топологиями, включая проективное и инъективное тензорные произведения.
-
L0 пространство измеримых функций
- L0 пространство измеримых функций определяется как пространство функций, измеримых по мере.
- Топология L0 пространства определяется сходимостью по мере.
- L0 пространство является топологической абелевой группой, но не всегда топологическим векторным пространством.
-
Пространство L0(Rn, gλ)
- Интегрируемая плотность g
- Положительный параметр λ
-
Абсолютно интегрируемая функция
- Функция с конечными интегральными страницами
-
Пространство Бохнера
- Тип топологического пространства
-
Пространство Орлича
- Тип функционального пространства
-
Пространство Харди
- Концепция комплексного анализа
-
Теорема Рисса–Торина
- Теорема об операторной интерполяции
-
Среднее значение по Гельдеру
- N-й корень из среднего арифметического
-
Пространство Гельдера
- Тип непрерывности комплекснозначной функции
-
Среднеквадратичный корень
- Квадратный корень из среднеквадратичного значения
-
Наименьшие абсолютные отклонения
- Статистический критерий оптимальности
-
Локально интегрируемая функция
- Функция, интегрируемая в своей области
-
L1(G)
- Пространства над локально компактной группой G
- Двойственность для локально компактных абелевых групп
-
Спектральный анализ методом наименьших квадратов
- Метод вычисления периодичности
-
Список банаховых пространств
- Математическая метрика в нормированном векторном пространстве
-
L-бесконечность
- Пространство ограниченных последовательностей
-
Сумма Lp
- Мера в функциональном анализе
-
Пространство в сантиметрах
- Записи
-
Рекомендации
- Внешние ссылки
- Доказательство того, что пробелы Lp заполнены