Максимальный и минимальный

• Определение экстремумов

  • Экстремум — это точка, в которой функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения. 
  • Точка локального максимума — это точка, в которой функция достигает своего наибольшего значения в некоторой окрестности. 
  • Точка глобального максимума — это точка, в которой функция достигает своего наибольшего значения во всей области определения. 
  • Аналогично для точки локального минимума и точки глобального минимума. 

• Поиск экстремумов

  • Для непрерывных функций на замкнутом интервале существуют глобальные максимумы и минимумы. 
  • Метод поиска экстремума включает в себя поиск локальных максимумов и минимумов, а также проверку критических точек. 
  • Для кусочно-определенных функций экстремум можно найти, найдя максимум каждого фрагмента и выбрав наибольший. 

• Примеры

  • Пример с ограждением показывает, как найти максимальную площадь прямоугольника с заданными размерами. 
  • Для функций с несколькими переменными используются аналогичные условия для локальных максимумов, но есть различия в определении глобальных экстремумов. 

• Функции и множества

  • Экстремумы могут быть определены для функций и множеств, с использованием соответствующих терминов и методов. 
  • В случае множеств, максимум и минимум могут быть определены как наибольший и наименьший элемент соответственно. 
  • В полностью упорядоченных множествах все элементы взаимно сопоставимы, что упрощает определение минимума и максимума. 

• Дополнительные сведения

  • В статье также упоминаются другие связанные понятия, такие как производный тест, нижняя и верхняя границы, а также седловая точка.