Математическая логика

• Основы логики

  • Логика — это наука о правильном мышлении и рассуждении. 
  • Логика включает в себя множество разделов, включая классическую логику, интуиционистскую логику и модальную логику. 
  • Логика первого порядка является основой для аксиоматизации математики и других областей. 

• История и развитие логики

  • Логика возникла в Древней Греции и развивалась в течение столетий. 
  • Аристотель сформулировал основные законы логики, которые были основой для последующих исследований. 
  • В 19 веке логика стала более формализованной благодаря работам Буля и Фреге. 
  • Логика первого порядка была разработана в начале 20 века и стала основой для аксиоматизации математики. 

• Теоремы Геделя

  • Теоремы Геделя показали ограничения логики первого порядка в аксиоматизации математики. 
  • Первая теорема о неполноте утверждает, что любая достаточно сильная система аксиом не может доказать свою собственную непротиворечивость. 
  • Вторая теорема о неполноте говорит о том, что ни одна система аксиом не может доказать свою непротиворечивость и одновременно быть эффективной. 

• Другие классические логики

  • Инфинитарные логики позволяют использовать бесконечные кванторы, а логики более высокого порядка включают теорию множеств в свою семантику. 
  • Логики с фиксированной запятой допускают индуктивные определения и не охватывают все логики в целом. 

• Неклассическая и модальная логика

  • Модальная логика включает дополнительные модальные операторы и использовалась для изучения свойств доказуемости и теоретико-множественного форсирования. 
  • Интуиционистская логика избегает закона исключенного третьего и имеет конструктивные свойства, которые отличаются от классических теорий. 

• Алгебраическая логика

  • Алгебраическая логика использует методы абстрактной алгебры для изучения семантики формальной логики. 
  • Булевы алгебры и алгебры Хейтинга используются для представления истинностных значений в различных логиках. 

• Теория множеств

  • Теория множеств изучает множества и их свойства, включая порядковые и кардинальные числа. 
  • Цермело-Френкель, фон Нейман-Бернайс-Гёдель, Морс-Келли и New Foundations являются основными формализациями теории множеств. 
  • Аксиома выбора и гипотеза континуума являются важными утверждениями в теории множеств. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.