Оглавление
Матрица Сильвестра
-
Определение матрицы Сильвестра
- Матрица Сильвестра связана с двумя одномерными многочленами с коэффициентами в поле или коммутативном кольце.
- Элементы матрицы являются коэффициентами этих многочленов.
- Определитель матрицы равен нулю, если многочлены имеют общий корень или непостоянный общий делитель.
-
Формальное построение матрицы
- Пусть p и q — два ненулевых многочлена степени m и n соответственно.
- Матрица Сильвестра имеет размерность (n + m) × (n + m).
- Первая строка матрицы равна p, вторая строка — сдвинутая первая строка с нулем в первом элементе.
- Следующие строки получаются аналогично, сдвигая коэффициенты на один столбец вправо и устанавливая другие значения в строке равными 0.
- Если m = 4 и n = 3, матрица имеет вид:
-
Варианты матрицы Сильвестра
- В статье 1840 года Сильвестр представил матрицу, которая, с точностью до перестановки строк, является матрицей Сильвестра из p и q.
- В статье 1853 года Сильвестр предложил матрицу, которая, с точностью до знака, является произведением определителя матрицы Сильвестра на p^m-n.
-
Приложения матрицы Сильвестра
- Матрицы используются в коммутативной алгебре для проверки наличия общего множителя у многочленов.
- Решения одновременных линейных уравнений содержат векторы коэффициентов многочленов, которые выполняют определенные условия.
- Ядро транспонированной матрицы Сильвестра дает все решения уравнения Безу.
- Ранг матрицы Сильвестра определяет степень наибольшего общего делителя многочленов.
- Коэффициенты наибольшего общего делителя могут быть выражены через определители подматриц матрицы Сильвестра.