Оглавление
MV-алгебра
-
Определение MV-алгебр
- MV-алгебра — алгебраическая структура с бинарной операцией ⊕, унарной операцией ¬ и постоянной 0.
- MV-алгебры удовлетворяют определенным аксиомам, включая коммутативность и моноидность.
- MV-алгебры образуют множество алгебр и являются подмногообразием многообразия BL-алгебр.
-
Примеры MV-алгебр
- Стандартная MV-алгебра: A = [0,1], ⊕ = min(x + y, 1), ¬ = 1 – x.
- Тривиальная MV-алгебра: единственный элемент 0, 0 ⊕ 0 = 0, ¬0 = 0.
- Двухэлементная MV-алгебра: {0, 1}, ⊕ = логическая дизъюнкция, ¬ = логическое отрицание.
- MV3-алгебра: x ⊕ x ⊕ x = x ⊕ x.
- MVn-алгебры: ограниченные MV-алгебры с n равноудаленными действительными числами от 0 до 1.
- MV-алгебра Чанга: состоит из бесконечно малых величин и их ко-бесконечно малых величин.
- MV-алгебра из абелевой группы: x ∈ y = min(u, x + y), x = u – x.
-
Отношение к логике Лукашевича
- MV-алгебры формируют алгебраическую семантику логики Лукашевича.
- A-оценка — гомоморфизм из алгебры пропозициональных формул в MV-алгебру.
- Теорема Чанга о полноте: любое уравнение MV-алгебры выполняется в любой MV-алгебре.
- MV-алгебры характеризуют бесконечнозначную логику Лукашевича аналогично булевым алгебрам.
-
MVn-алгебры и LMn-алгебры
- MVn-алгебры — MV-алгебры с дополнительными аксиомами для n-значной логики Лукашевича.
- LMn-алгебры — алгебры Лукашевича-Мойзила, не моделирующие n-значную логику Лукашевича при n ≥ 5.
- MVn-алгебры являются подклассом LMn-алгебр.
-
Отношение к функциональному анализу
- MV-алгебры связаны с приблизительно конечномерными C*-алгебрами.
- Мундичи установил биективное соответствие между классами изоморфизма C*-алгебр и MV-алгебр.
-
Применение в программном обеспечении
- Фреймворки для нечеткой логики реализуют многосопряженную логику, которая является MV-алгеброй.