Наименьшие квадраты

• Основы метода наименьших квадратов

  • Метод наименьших квадратов используется для минимизации суммы квадратов ошибок в регрессионных моделях. 
  • Метод применяется для решения задач, где требуется найти значения параметров, которые минимизируют сумму квадратов ошибок. 

• Применение метода наименьших квадратов

  • Метод применяется в различных областях, включая статистику, машинное обучение и эконометрику. 
  • В статистике метод используется для оценки параметров распределения, в машинном обучении — для обучения моделей, а в эконометрике — для оценки экономических параметров. 

• Математическое описание метода

  • Метод основан на минимизации функции потерь, которая представляет собой сумму квадратов ошибок. 
  • Градиент функции потерь равен сумме частных производных от функции потерь по параметрам. 
  • Уравнения градиента используются для нахождения оптимальных значений параметров. 

• Линейные наименьшие квадраты

  • Линейная регрессия является частным случаем метода наименьших квадратов, где функция потерь линейно зависит от параметров. 
  • Линейная регрессия может быть решена аналитически, что позволяет найти оптимальные значения параметров. 

• Нелинейный метод наименьших квадратов

  • В случае нелинейных задач метод наименьших квадратов не всегда имеет аналитическое решение. 
  • Для решения нелинейных задач используются численные алгоритмы, которые итеративно уточняют параметры. 
  • На каждой итерации модель может быть линеаризована для упрощения вычислений. 

• Алгоритм итеративного уточнения параметров

  • На каждой итерации параметры уточняются путем добавления вектора приращений к предыдущим значениям. 
  • Остатки от итераций используются для минимизации суммы квадратов ошибок. 
  • Уравнение градиента устанавливается равным нулю для нахождения вектора приращений. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.