Некоммутативное кольцо

Оглавление1 Некоммутативное кольцо1.1 Некоммутативные кольца1.2 Примеры некоммутативных колец1.3 История и различия1.4 Разделительные кольца1.5 Полупростые и полупримитивные кольца1.6 Простые кольца1.7 Важные […]

Некоммутативное кольцо

  • Некоммутативные кольца

    • Некоммутативное кольцо — это кольцо, умножение которого не коммутативно.  
    • Некоммутативная алгебра изучает свойства некоммутативных колец.  
    • Примеры некоммутативных колец: матричные кольца, кватернионы Гамильтона, групповые кольца.  
  • Примеры некоммутативных колец

    • Свободное кольцо: генерируется конечным множеством элементов.  
    • Алгебра Вейля: кольцо полиномиальных дифференциальных операторов.  
    • Частное кольцо: квантовая плоскость.  
    • Супералгебры: могут быть представлены как C[x1, …, xn]⨁θ1, …, θm⨁/θiθj+θjθi.  
  • История и различия

    • Изучение некоммутативных колец началось с колец деления.  
    • Основные различия между коммутативными и некоммутативными кольцами: необходимость раздельного рассмотрения правых и левых идеалов.  
  • Разделительные кольца

    • Кольцо деления — это кольцо, в котором возможно деление.  
    • Кольца деления отличаются от полей только коммутативностью умножения.  
    • Конечные кольца деления являются коммутативными и, следовательно, конечными полями.  
  • Полупростые и полупримитивные кольца

    • Полупростое кольцо — это кольцо, которое полупросто как левый модуль над самим собой.  
    • Полупримитивное кольцо — это кольцо с нулевым радикалом Якобсона.  
    • Полупримитивные кольца можно понимать как подпрямые произведения примитивных колец.  
  • Простые кольца

    • Простое кольцо — это ненулевое кольцо без двустороннего идеала, кроме нулевого и самого себя.  
    • Простые кольца всегда можно рассматривать как простые алгебры.  
    • Примеры простых колец: алгебры Вейля, алгебры Клиффорда.  
  • Важные теоремы

    • Маленькая теорема Уэддерберна: каждая конечная область является полем.  
    • Теорема Артина–Уэддерберна: полупростое кольцо изоморфно произведению матричных колец над кольцами деления.  
    • Теорема Джейкобсона о плотности: примитивное кольцо можно рассматривать как плотное подкольцо кольца линейных преобразований векторного пространства.  
    • Лемма Накаямы: U · J(R) является подмодулем U, если U содержит максимальный подмодуль.  
  • Лемма Накаямы и теорема Джейкобсона–Адзумайи

    • Лемма Накаямы утверждает, что правильные модули над некоммутативными унитарными кольцами R удовлетворяют определенным условиям.  
    • Теорема Джейкобсона–Адзумайи является следствием леммы Накаямы и описывает условия, при которых локализация кольца возможна.  
  • Локализация колец

    • Локализация — это метод добавления мультипликативных инверсий к кольцу.  
    • Локализация через S обозначается как S −1R и может быть выражена универсальным свойством.  
    • Локализация некоммутативных колец сложнее и требует дополнительных условий, таких как состояние руды.  
  • Эквивалентность Мориты

    • Эквивалентность Мориты — это отношение между кольцами, сохраняющее теоретико-кольцевые свойства.  
    • Два кольца R и S эквивалентны, если существует эквивалентность категорий модулей над ними.  
    • Любой функтор от R-Mod до S-Mod, дающий эквивалентность, автоматически аддитивен.  
  • Группа компаний Brauer

    • Группа Брауэра поля K — это абелева группа, элементами которой являются классы эквивалентности Мориты центральных простых алгебр конечного ранга над K.  
    • Группа Брауэра схемы определяется в терминах алгебр Азумайи.  
  • Условия добычи руды

    • Условие рудности — это условие, введенное Эйстейном Рудным для распространения локализации на некоммутативные кольца.  
    • Правильное рудное условие требует, чтобы для a ∈ R и s ∈ S пересечение ∩ sR ≠ ∅.  
  • Теорема Голди

    • Теорема Голди утверждает, что полупростые правые кольца Голди имеют полупростое артиновское правое классическое кольцо частных.  
    • Теорема применима к полупростым правым нетеровым кольцам и гарантирует, что правильно подобранное нетерово кольцо является правильным золотым.  
    • Следствием теоремы Голди является изоморфизм полупростых главных правых идеальных колец конечной прямой сумме простых главных правых идеальных колец.  

Полный текст статьи:

Некоммутативное кольцо

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх