Оглавление
- 1 Некоммутативное кольцо
- 1.1 Некоммутативные кольца
- 1.2 Примеры некоммутативных колец
- 1.3 История и различия
- 1.4 Разделительные кольца
- 1.5 Полупростые и полупримитивные кольца
- 1.6 Простые кольца
- 1.7 Важные теоремы
- 1.8 Лемма Накаямы и теорема Джейкобсона–Адзумайи
- 1.9 Локализация колец
- 1.10 Эквивалентность Мориты
- 1.11 Группа компаний Brauer
- 1.12 Условия добычи руды
- 1.13 Теорема Голди
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Некоммутативное кольцо
Некоммутативное кольцо
-
Некоммутативные кольца
- Некоммутативное кольцо — это кольцо, умножение которого не коммутативно.
- Некоммутативная алгебра изучает свойства некоммутативных колец.
- Примеры некоммутативных колец: матричные кольца, кватернионы Гамильтона, групповые кольца.
-
Примеры некоммутативных колец
- Свободное кольцо: генерируется конечным множеством элементов.
- Алгебра Вейля: кольцо полиномиальных дифференциальных операторов.
- Частное кольцо: квантовая плоскость.
- Супералгебры: могут быть представлены как C[x1, …, xn]⨁θ1, …, θm⨁/θiθj+θjθi.
-
История и различия
- Изучение некоммутативных колец началось с колец деления.
- Основные различия между коммутативными и некоммутативными кольцами: необходимость раздельного рассмотрения правых и левых идеалов.
-
Разделительные кольца
- Кольцо деления — это кольцо, в котором возможно деление.
- Кольца деления отличаются от полей только коммутативностью умножения.
- Конечные кольца деления являются коммутативными и, следовательно, конечными полями.
-
Полупростые и полупримитивные кольца
- Полупростое кольцо — это кольцо, которое полупросто как левый модуль над самим собой.
- Полупримитивное кольцо — это кольцо с нулевым радикалом Якобсона.
- Полупримитивные кольца можно понимать как подпрямые произведения примитивных колец.
-
Простые кольца
- Простое кольцо — это ненулевое кольцо без двустороннего идеала, кроме нулевого и самого себя.
- Простые кольца всегда можно рассматривать как простые алгебры.
- Примеры простых колец: алгебры Вейля, алгебры Клиффорда.
-
Важные теоремы
- Маленькая теорема Уэддерберна: каждая конечная область является полем.
- Теорема Артина–Уэддерберна: полупростое кольцо изоморфно произведению матричных колец над кольцами деления.
- Теорема Джейкобсона о плотности: примитивное кольцо можно рассматривать как плотное подкольцо кольца линейных преобразований векторного пространства.
- Лемма Накаямы: U · J(R) является подмодулем U, если U содержит максимальный подмодуль.
-
Лемма Накаямы и теорема Джейкобсона–Адзумайи
- Лемма Накаямы утверждает, что правильные модули над некоммутативными унитарными кольцами R удовлетворяют определенным условиям.
- Теорема Джейкобсона–Адзумайи является следствием леммы Накаямы и описывает условия, при которых локализация кольца возможна.
-
Локализация колец
- Локализация — это метод добавления мультипликативных инверсий к кольцу.
- Локализация через S обозначается как S −1R и может быть выражена универсальным свойством.
- Локализация некоммутативных колец сложнее и требует дополнительных условий, таких как состояние руды.
-
Эквивалентность Мориты
- Эквивалентность Мориты — это отношение между кольцами, сохраняющее теоретико-кольцевые свойства.
- Два кольца R и S эквивалентны, если существует эквивалентность категорий модулей над ними.
- Любой функтор от R-Mod до S-Mod, дающий эквивалентность, автоматически аддитивен.
-
Группа компаний Brauer
- Группа Брауэра поля K — это абелева группа, элементами которой являются классы эквивалентности Мориты центральных простых алгебр конечного ранга над K.
- Группа Брауэра схемы определяется в терминах алгебр Азумайи.
-
Условия добычи руды
- Условие рудности — это условие, введенное Эйстейном Рудным для распространения локализации на некоммутативные кольца.
- Правильное рудное условие требует, чтобы для a ∈ R и s ∈ S пересечение ∩ sR ≠ ∅.
-
Теорема Голди
- Теорема Голди утверждает, что полупростые правые кольца Голди имеют полупростое артиновское правое классическое кольцо частных.
- Теорема применима к полупростым правым нетеровым кольцам и гарантирует, что правильно подобранное нетерово кольцо является правильным золотым.
- Следствием теоремы Голди является изоморфизм полупростых главных правых идеальных колец конечной прямой сумме простых главных правых идеальных колец.