Оглавление
Многочлен Эрхарта
-
Определение и свойства многочлена Эрхарта
- Многочлен Эрхарта – это сумма по всем точкам многогранника, умноженная на их степени.
- Он используется для подсчета количества целых точек в многограннике.
- Взаимность Эрхарта-Макдональда утверждает, что количество целых точек в t-кратном расширении многогранника равно количеству целых точек в самом многограннике.
-
Примеры и интерпретация коэффициентов
- Примеры включают единичный гиперкуб и пирамидальные числа.
- Коэффициенты многочлена Эрхарта имеют простую интерпретацию для замкнутых многогранников.
-
Теорема Бетке-Кнезера и ряды Эрхарта
- Бетке и Кнезер установили характеристику коэффициентов Эрхарта.
- Ряды Эрхарта могут быть выражены через рациональные функции и имеют определенные свойства.
-
Ряды Эрхарта для рациональных многогранников
- Для рациональных многогранников также определены ряды Эрхарта.
- Существуют верхние и нижние границы для второстепенных коэффициентов многочлена Эрхарта.
-
Торическое многообразие и многочлены Эрхарта
- В случае торических многообразий многочлен Эрхарта совпадает с многочленом Гильберта.
- Многочлены Эрхарта могут быть изучены сами по себе, включая вопросы о корнях и классификации.
-
Обобщения и приложения
- Можно изучать количество целых точек в полурасширенных многогранниках, что приводит к квазиполиномам.
- Взаимность типа Эрхарта справедлива и для таких счетных функций.
- Подсчет количества целых точек в полурасширениях имеет приложения в теории кодирования.
Полный текст статьи: