Полнота действительных чисел
- Полнота вещественных чисел подразумевает отсутствие «пробелов» или «пропущенных точек» в числовой строке.
- В десятичной системе счисления полнота эквивалентна утверждению, что любая бесконечная строка десятичных цифр является десятичным представлением действительного числа.
- Существует много эквивалентных форм полноты, включая полноту Дедекинда и полноту Коши.
- Действительные числа могут быть определены синтетически как упорядоченное поле, удовлетворяющее определенной версии аксиомы полноты.
- Свойство наименьшей верхней границы утверждает, что каждое непустое подмножество вещественных чисел с верхней границей должно иметь наименьшую верхнюю границу.
- Полнота Дедекинда заключается в том, что каждое дедекиндово сокращение действительных чисел порождается действительным числом.
- Полнота Коши утверждает, что каждая последовательность действительных чисел Коши сходится к действительному числу.
Полный текст статьи: