Оглавление
- 1 Преобразование Фурье
- 1.1 Преобразование Фурье
- 1.2 История и применение
- 1.3 Определение и свойства
- 1.4 Интегрируемые функции
- 1.5 Расширение на L2(R)
- 1.6 Примеры и приложения
- 1.7 Преобразование Фурье и его свойства
- 1.8 Соглашения и вариации
- 1.9 История и сложные синусоиды
- 1.10 Отрицательная частота и периодические функции
- 1.11 Выборка преобразования Фурье
- 1.12 Единицы и двойственные пространства
- 1.13 Определение преобразования Фурье
- 1.14 Основные свойства преобразования Фурье
- 1.15 Сопряженность и действительная/мнимая части
- 1.16 Нулевая частотная составляющая и равномерность
- 1.17 Теорема Планшереля и теорема Парсеваля
- 1.18 Теорема Планшереля
- 1.19 Теорема Парсеваля
- 1.20 Теорема о свертке
- 1.21 Теорема о взаимной корреляции
- 1.22 Различие
- 1.23 Собственные функции
- 1.24 Дробное преобразование Фурье
- 1.25 Оператор N
- 1.26 Собственные функции и периодичность
- 1.27 Связь с группой Гейзенберга
- 1.28 Сложная область и преобразование Лапласа
- 1.29 Применение в обработке сигналов
- 1.30 Инверсия Фурье
- 1.31 Преобразование Фурье в евклидовом пространстве
- 1.32 Принцип неопределенности
- 1.33 Синусоидальные и косинусоидальные преобразования
- 1.34 Сферические гармоники
- 1.35 Проблемы с ограничениями
- 1.36 Ограничение преобразования Фурье
- 1.37 Частичная сумма и сходимость
- 1.38 Преобразование Фурье в L1 и L2
- 1.39 Преобразование Фурье в Lp
- 1.40 Распределения и преобразования Фурье
- 1.41 Преобразование Фурье-Стилтьеса
- 1.42 Локально компактные абелевы группы
- 1.43 Преобразование Фурье для функций в L1(G)
- 1.44 Примеры и приложения
- 1.45 Преобразование Гельфанда
- 1.46 Компактные неабелевы группы
- 1.47 Альтернативы преобразованию Фурье
- 1.48 Преобразование Фурье и его свойства
- 1.49 Применение преобразования Фурье
- 1.50 Гармонический анализ
- 1.51 Анализ дифференциальных уравнений
- 1.52 Метод Фурье
- 1.53 Концептуальная переформулировка
- 1.54 Преобразование Фурье в линейной алгебре
- 1.55 Спектроскопия с преобразованием Фурье
- 1.56 Квантовая механика и преобразование Фурье
- 1.57 Обработка сигналов и преобразование Фурье
- 1.58 Обозначения и замены
- 1.59 Интерпретация комплексной функции
- 1.60 Преобразование Фурье как отображение
- 1.61 Методы расчета
- 1.62 Аналитическое и численное интегрирование
- 1.63 Таблицы важных преобразований Фурье
- 1.64 Квадратичное преобразование Фурье
- 1.65 Кратковременное преобразование Фурье
- 1.66 Оценка спектральной плотности
- 1.67 Символическая интеграция
- 1.68 Дисперсионное преобразование Фурье с растягиванием во времени
- 1.69 Преобразование (математика)
- 1.70 Записи
- 1.71 Цитаты
- 1.72 Рекомендации
- 1.73 Внешние ссылки
- 1.74 Полный текст статьи:
- 2 Преобразование Фурье — Arc.Ask3.Ru
Преобразование Фурье
-
Преобразование Фурье
- Преобразование Фурье (FT) анализирует функцию и выводит её частотные составляющие.
- Выходной сигнал представляет собой комплекснозначную функцию частоты.
- Преобразование Фурье аналогично разложению музыкального аккорда на тона.
-
История и применение
- Джозеф Фурье ввел преобразование в 1807 году для изучения теплопередачи.
- Преобразование Фурье используется в теории вероятностей, статистике и физике.
- Преобразование Фурье обобщается на функции нескольких переменных и группы.
-
Определение и свойства
- Преобразование Фурье раскладывает функцию на составляющие частоты и амплитуды.
- Обратный процесс называется синтезом и воссоздает функцию из её преобразования.
- Преобразование Фурье сходится для всех частот, если функция распадается со всеми производными.
-
Интегрируемые функции
- Функция интегрируема по Лебегу, если интеграл от её абсолютного значения конечен.
- Преобразование Фурье определено для всех частот, если функция интегрируема по Лебегу.
- Преобразование Фурье не всегда взаимно однозначно на L1(R).
-
Расширение на L2(R)
- Преобразование Фурье допускает непрерывное расширение на L2(R).
- Преобразование сохраняет пространство L2(R), что важно для квантовой механики.
- Преобразование может быть получено явно путем регуляризации интеграла.
-
Примеры и приложения
- Преобразование Фурье используется для анализа периодических функций.
- Быстрое преобразование Фурье (FFT) — алгоритм вычисления DFT.
- Преобразование Фурье применяется в различных областях, таких как акустика, оптика и квантовая механика.
-
Преобразование Фурье и его свойства
- Преобразование Фурье является гомоморфизмом банаховых алгебр из L1 в L∞.
- Преобразование унитарно на L2 и алгебраически гомоморфно от L1 до L∞.
- Угловая частота ω = 2πξ, где ξ — частота, а ω — угловая частота.
-
Соглашения и вариации
- Существуют три соглашения для преобразования Фурье: f1^, f2^ и f3^.
- f1^ и f2^ восстанавливают унитарность и симметрию, разделяя 2π.
- f3^ и f2^ также восстанавливают унитарность, но с меньшим коэффициентом.
-
История и сложные синусоиды
- Фурье заявил, что любая функция может быть разложена в ряд синусов.
- Коэффициенты f^ (ξ) — комплексные числа, имеющие две эквивалентные формы.
- Продукт с e^i2πξx имеет полярную и прямоугольную координатные формы.
-
Отрицательная частота и периодические функции
- Формула Эйлера вводит возможность отрицательной частоты.
- Преобразование Фурье периодической функции определяется через ряды Фурье.
- Преобразование Фурье периодической функции с периодом P равно сумме дельта-функций.
-
Выборка преобразования Фурье
- Преобразование Фурье интегрируемой функции может быть выбрано с регулярными интервалами.
- Выборка может быть получена из одного цикла периодической функции.
- Интегрируемость функции гарантирует сходимость периодического суммирования.
-
Единицы и двойственные пространства
- Переменная частоты должна иметь единицы, обратные единицам измерения исходной функции.
- Преобразование Фурье переходит из одного пространства функций в другое.
- ξ всегда следует принимать за линейную форму в пространстве своей области.
-
Определение преобразования Фурье
- Нет канонического способа сравнения двух версий реальной строки.
- Различные определения приводят к разным константам.
- В современной физике используется соглашение с i в показателе степени.
-
Основные свойства преобразования Фурье
- Линейность: a f(x) + b h(x) ⟺ F a f^ (ξ) + b h^ (ξ).
- Изменение времени: f(x − x0) ⟺ F e^ −i2πx0ξ f^ (ξ).
- Сдвиг частоты: e^i2πξ0x f(x) ⟺ F f^ (ξ − ξ0).
- Масштабирование по времени: f(ax) ⟺ F 1/|a| f^ (ξa).
- Симметрия: f(x) = f^ (ξ) + i f^ (−ξ).
-
Сопряженность и действительная/мнимая части
- (f(x))∗ ⟺ F (f^ (−ξ))∗.
- Ре f(x) ⟺ F 1/2 (f^ (ξ) + (f^ (−ξ))∗).
- Im f(x) ⟺ F 1/2i (f^ (ξ) − (f^ (−ξ))∗).
-
Нулевая частотная составляющая и равномерность
- f^ (0) = ∫−∞∞ f(x) dx.
- Преобразование Фурье интегрируемых функций равномерно непрерывно.
- f^ (ξ) → 0 как |ξ| → ∞.
-
Теорема Планшереля и теорема Парсеваля
- ⟨f, g⟩L2 = ∫−∞∞ f(x)g(x)¯dx = ∫−∞∞ f^ (ξ)g^ (ξ)¯dξ.
- ‖f‖L22 = ∫−∞∞ |f(x)|2dx = ∫−∞∞ |f^ (ξ)|2dξ.
-
Теорема Планшереля
- Расширяет преобразование Фурье до унитарного оператора на L2(R)
- Согласуется с исходным преобразованием Фурье на L1(R)
- Сохраняет энергию исходной величины
-
Теорема Парсеваля
- Доказана для рядов Фурье Ляпуновым
- Имеет смысл и для преобразования Фурье
- Часто называется формулой Парсеваля
-
Теорема о свертке
- Преобразование Фурье преобразует функции между сверткой и умножением
- Свертка определяется произведением преобразований Фурье
- В теории систем с линейной временной инвариантностью g(x) интерпретируется как импульсная характеристика системы
-
Теорема о взаимной корреляции
- Преобразование Фурье взаимной корреляции f(x) и g(x) равно произведению преобразований Фурье f(ξ) и g(ξ)
- Автокорреляция функции f(x) равна |f(ξ)|2
-
Различие
- Преобразование Фурье производной f(x) равно i2πξf(ξ)
- Преобразование Фурье n-й производной f(n) равно (i2πξ)n f(ξ)
- Преобразование Фурье xn f(x) равно (i2π)n dn/dξn f(ξ)
-
Собственные функции
- Преобразование Фурье имеет собственные функции, подчиняющиеся F[ψ] = λψ
- Собственные функции можно найти, решая однородное дифференциальное уравнение
- Функции Эрмита образуют полную ортонормированную систему собственных функций
-
Дробное преобразование Фурье
- Преобразование Фурье может быть представлено как сумма членов, взвешенных по собственным значениям
- Функции Эрмита экспоненциально быстро уменьшаются в частотной и временной областях
- Дробное преобразование Фурье используется в частотно-временном анализе
-
Оператор N
- Оператор N является числовым оператором квантового гармонического осциллятора
- Интерпретируется как генератор дробных преобразований Фурье и обычного непрерывного преобразования Фурье
-
Собственные функции и периодичность
- Собственные функции преобразования Фурье являются функциями Эрмита.
- Преобразование Фурье является четырехпериодическим, что позволяет восстанавливать функции.
- Оператор четности P связывает преобразование Фурье с его периодичностью.
-
Связь с группой Гейзенберга
- Группа Гейзенберга описывает унитарные операторы в гильбертовом пространстве L2(R).
- Преобразование Фурье является унитарным представлением группы Гейзенберга.
- Теорема Стоуна-фон Неймана связывает преобразование Фурье с группой Гейзенберга.
-
Сложная область и преобразование Лапласа
- Интеграл для преобразования Фурье может сходиться к сложной аналитической функции.
- Теорема Пейли-Винера связывает гладкость функции с её преобразованием Фурье.
- Преобразование Лапласа является частным случаем преобразования Фурье для причинных функций.
-
Применение в обработке сигналов
- Преобразование Лапласа используется для анализа фильтров и дифференциальных уравнений.
- Преобразование Лапласа позволяет анализировать системы с расходящимися или критическими элементами.
- Преобразование Лапласа применяется в обработке звука и для получения расширенных импульсных характеристик.
-
Инверсия Фурье
- Формула инверсии Фурье использует интегрирование по различным линиям, параллельным действительной оси.
- Теорема: Если f(t) = 0 при t < 0 и |f(t)| < Cea|t| для некоторых констант C, a > 0, то f(t) = ∫−∞∞f^(σ+iτ)e−i2πξt dσ.
- Формула обращения Меллина для преобразования Лапласа: f(t) = 1/i2π∫b−i∞b+i∞F(s)e−st ds для любого b > a.
-
Преобразование Фурье в евклидовом пространстве
- Преобразование Фурье может быть определено в любом произвольном числе измерений n.
- Основные свойства и теоремы Планшереля и Парсеваля справедливы для n-мерного преобразования Фурье.
- Преобразование Фурье остается равномерно непрерывным и выполняется лемма Римана–Лебега.
-
Принцип неопределенности
- Чем более концентрированной является функция f(x), тем более развернутым должно быть ее преобразование Фурье f(θ).
- Принцип неопределенности: D0(f)D0(f^) ≥ 1/16π2.
- Равенство достигается только для гауссовой функции с дисперсией σ2/2π.
-
Синусоидальные и косинусоидальные преобразования
- В первоначальной формулировке преобразования Фурье использовались синусы и косинусы.
- Абсолютно интегрируемая функция f может быть расширена в терминах истинных частот λ с помощью f(t) = ∫0∞(a(λ)cos(2πλt) + b(λ)sin(2πλt))dλ.
- Функции коэффициентов a и b можно найти с помощью косинусного и синусоидального преобразования Фурье.
-
Сферические гармоники
- Множество однородных гармонических многочленов степени k от Rn обозначается через Ak.
- Преобразование Фурье сопоставляет каждое пространство Hk с самим собой.
- Преобразование Фурье радиальной функции при k = 0 дает преобразование Ханкеля.
-
Проблемы с ограничениями
- В более высоких измерениях становится интересным изучать проблемы ограничения для преобразования Фурье.
-
Ограничение преобразования Фурье
- Преобразование Фурье не может быть определено на множествах с мерой 0.
- Ограничение преобразования Фурье единичной сферой в Rn ограничено при 1 ≤ p ≤ 2n + 2/n + 3.
-
Частичная сумма и сходимость
- В 1 измерении оператор частичной суммы сходится к функции в Lp.
- В n ≥ 2 множитель для единичного шара не ограничен, если p ≠ 2.
-
Преобразование Фурье в L1 и L2
- Преобразование Фурье в L1(Rn) ограничено и унитарно.
- В L2(Rn) преобразование Фурье задается неправильным интегралом.
-
Преобразование Фурье в Lp
- Для 1 < p < 2 преобразование Фурье определяется через интерполяцию Марцинкевича.
- В Lp(Rn) преобразование Фурье преобразует функцию в Lq(Rn), где q = p/p − 1.
-
Распределения и преобразования Фурье
- Преобразование Фурье может быть определено для распределений.
- Преобразование Фурье умеренных распределений подчиняется формуле умножения.
-
Преобразование Фурье-Стилтьеса
- Преобразование Фурье конечной борелевской меры задается интегралом.
- Лемма Римана-Лебега не выполняется для измерений.
-
Локально компактные абелевы группы
- Преобразование Фурье может быть обобщено на локально компактные абелевы группы.
- Локально компактные абелевы группы имеют трансляционно-инвариантную меру Хаара.
-
Преобразование Фурье для функций в L1(G)
- Преобразование Фурье определяется как интеграл по группе G.
- Функция f(x) преобразуется в f^(ξ) = ∫G ξ(x)f(x)dμ для любого ξ ∈ G^.
- Лемма Римана-Лебега утверждает, что f(θ) обращается в нуль на бесконечности на θ.
-
Примеры и приложения
- Преобразование Фурье для T = R/Z.
- Представление T на комплексной плоскости C.
- Таблица символов группы G.
- Внутреннее произведение между функциями класса.
-
Преобразование Гельфанда
- Преобразование Гельфанда тесно связано с картой двойственности Понтрягина.
- Преобразование Гельфанда дает изоморфизм между L1(G) и C0(A^), где A^ — мультипликативные линейные функционалы.
-
Компактные неабелевы группы
- Преобразование Фурье может быть определено для функций в неабелевой группе при условии компактности.
- Преобразование Фурье в неабелевой группе принимает значения в виде операторов Гильбертова пространства.
-
Альтернативы преобразованию Фурье
- Частотно-временные преобразования и распределения для представления сигналов.
- Обобщения преобразования Фурье, такие как кратковременное преобразование Фурье и дробное преобразование Фурье.
- Вейвлет-преобразования и чирплет-преобразования.
-
Преобразование Фурье и его свойства
- Преобразование Фурье измеряет амплитуду частотных составляющих сигнала.
- При добавлении к преобразованию Фурье на частоте -3 Гц амплитуда частотной составляющей 3 Гц равна 1.
- При попытке измерить частоту, которой нет, интеграл быстро изменяется между положительными и отрицательными значениями.
-
Применение преобразования Фурье
- Линейные операции в одной области имеют соответствующие операции в другой области.
- Дифференцирование во временной области соответствует умножению на частоту.
- Свертка во временной области соответствует умножению в частотной области.
-
Гармонический анализ
- Систематическое изучение взаимосвязи между частотной и временной областями.
- Включает виды функций или операций, которые «проще» в одной области.
-
Анализ дифференциальных уравнений
- Преобразование Фурье используется для решения дифференциальных уравнений в частных производных.
- Пример: волновое уравнение в одном измерении.
-
Метод Фурье
- Элементарные решения: cos(2πξ(x±t)) или sin(2πξ(x±t)).
- Интеграл, удовлетворяющий волновому уравнению, может быть интерпретирован как непрерывная линейная комбинация решений.
- Метод Фурье: нахождение коэффициентов a± и b± для удовлетворения граничным условиям.
-
Концептуальная переформулировка
- Преобразование Фурье используется для x и t, а не только для x.
- Волновое уравнение становится алгебраическим уравнением в ŷ.
- Элементарные решения выбираются как распределения на конике θ2 − f2 = 0.
- Инверсия Фурье дает выражения для граничных условий.
-
Преобразование Фурье в линейной алгебре
- Преобразование Фурье используется для решения линейных уравнений в частных производных с полиномиальными коэффициентами.
- Преобразование Фурье применяется для вычисления интегральных операторов Фурье и некоторых нелинейных уравнений.
-
Спектроскопия с преобразованием Фурье
- Преобразование Фурье используется в ядерном магнитном резонансе (ЯМР) и инфракрасной спектроскопии (FTIR).
- В ЯМР сигнал преобразуется из временной области в частотную.
- Преобразование Фурье также применяется в магнитно-резонансной томографии (МРТ) и масс-спектрометрии.
-
Квантовая механика и преобразование Фурье
- Преобразование Фурье используется для перехода от волновой функции положения к волновой функции импульса.
- Преобразование Фурье позволяет решать волновое уравнение Шредингера в нерелятивистской и релятивистской квантовой механике.
- В квантовой теории поля преобразование Фурье используется для квантования гармонических генераторов.
-
Обработка сигналов и преобразование Фурье
- Преобразование Фурье применяется для спектрального анализа временных рядов.
- Автокорреляционная функция используется для измерения корреляции между значениями сигнала.
- Преобразование Фурье автокорреляционной функции называется функцией спектральной плотности мощности.
- Спектральный анализ временных рядов помогает определить важные частоты для проектирования фильтров и оценки измерительных приборов.
-
Обозначения и замены
- Используются различные обозначения для преобразования Фурье, такие как f^, F, F(f), F(f(t)), F{f}, F(f(t)) и другие.
- В науке и технике часто используются замены, такие как ξ → f, x → t, f → x, f^ → X.
-
Интерпретация комплексной функции
- Комплексная функция f(θ) может быть выражена в полярных координатах как f^ = A(ξ)e^iφ(ξ).
- Амплитуда A(ξ) и фаза φ(ξ) определяются как A(ξ) = |f^| и φ(ξ) = arg(f^).
-
Преобразование Фурье как отображение
- Преобразование Фурье можно рассматривать как отображение в функциональных пространствах, обозначаемое как F.
- Результат применения преобразования Фурье снова является функцией, обозначаемой как ff(θ) или (ff)(θ).
-
Методы расчета
- Методы расчета зависят от формы исходной функции и желаемой выходной функции.
- Для дискретнозначных x интеграл преобразования становится суммированием синусоид.
- Дискретное преобразование Фурье (DFT) обычно вычисляется с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (FFT).
-
Аналитическое и численное интегрирование
- Аналитическое интегрирование функций замкнутой формы возможно с помощью систем компьютерной алгебры.
- Численное интегрирование непрерывных функций замкнутой формы также возможно.
-
Таблицы важных преобразований Фурье
- Приведены таблицы преобразований Фурье для различных функций и распределений.
- Включены таблицы для одномерных, двумерных и n-мерных функций.
-
Квадратичное преобразование Фурье
- Преобразование, используемое для анализа и обработки сигналов
- Применяется в различных областях, включая музыку и кристаллографию
-
Кратковременное преобразование Фурье
- Преобразование, используемое для быстрого преобразования Фурье
- Применяется в задачах, где требуется высокая скорость обработки данных
-
Оценка спектральной плотности
- Метод оценки спектральной плотности сигнала
- Используется для анализа и интерпретации спектральных характеристик сигнала
-
Символическая интеграция
- Метод, используемый для символьной интеграции
- Применяется в различных областях, включая математику и физику
-
Дисперсионное преобразование Фурье с растягиванием во времени
- Преобразование, используемое для дисперсионного анализа
- Применяется в задачах, где важно растяжение сигнала во времени
-
Преобразование (математика)
- Общее название для различных математических преобразований
- Включает в себя как линейные, так и нелинейные преобразования
-
Записи
- Ссылки на различные записи и материалы, связанные с преобразованием Фурье
-
Цитаты
- Цитаты и выдержки из различных источников
-
Рекомендации
- Рекомендации по использованию и применению преобразования Фурье
-
Внешние ссылки
- Ссылки на внешние ресурсы и материалы, связанные с преобразованием Фурье