Преобразование Фурье — Arc.Ask3.Ru

Оглавление1 Преобразование Фурье1.1 Преобразование Фурье1.2 История и применение1.3 Определение и свойства1.4 Интегрируемые функции1.5 Расширение на L2(R)1.6 Примеры и приложения1.7 Преобразование […]

Оглавление

Преобразование Фурье

  • Преобразование Фурье

    • Преобразование Фурье (FT) анализирует функцию и выводит её частотные составляющие.  
    • Выходной сигнал представляет собой комплекснозначную функцию частоты.  
    • Преобразование Фурье аналогично разложению музыкального аккорда на тона.  
  • История и применение

    • Джозеф Фурье ввел преобразование в 1807 году для изучения теплопередачи.  
    • Преобразование Фурье используется в теории вероятностей, статистике и физике.  
    • Преобразование Фурье обобщается на функции нескольких переменных и группы.  
  • Определение и свойства

    • Преобразование Фурье раскладывает функцию на составляющие частоты и амплитуды.  
    • Обратный процесс называется синтезом и воссоздает функцию из её преобразования.  
    • Преобразование Фурье сходится для всех частот, если функция распадается со всеми производными.  
  • Интегрируемые функции

    • Функция интегрируема по Лебегу, если интеграл от её абсолютного значения конечен.  
    • Преобразование Фурье определено для всех частот, если функция интегрируема по Лебегу.  
    • Преобразование Фурье не всегда взаимно однозначно на L1(R).  
  • Расширение на L2(R)

    • Преобразование Фурье допускает непрерывное расширение на L2(R).  
    • Преобразование сохраняет пространство L2(R), что важно для квантовой механики.  
    • Преобразование может быть получено явно путем регуляризации интеграла.  
  • Примеры и приложения

    • Преобразование Фурье используется для анализа периодических функций.  
    • Быстрое преобразование Фурье (FFT) — алгоритм вычисления DFT.  
    • Преобразование Фурье применяется в различных областях, таких как акустика, оптика и квантовая механика.  
  • Преобразование Фурье и его свойства

    • Преобразование Фурье является гомоморфизмом банаховых алгебр из L1 в L∞.  
    • Преобразование унитарно на L2 и алгебраически гомоморфно от L1 до L∞.  
    • Угловая частота ω = 2πξ, где ξ — частота, а ω — угловая частота.  
  • Соглашения и вариации

    • Существуют три соглашения для преобразования Фурье: f1^, f2^ и f3^.  
    • f1^ и f2^ восстанавливают унитарность и симметрию, разделяя 2π.  
    • f3^ и f2^ также восстанавливают унитарность, но с меньшим коэффициентом.  
  • История и сложные синусоиды

    • Фурье заявил, что любая функция может быть разложена в ряд синусов.  
    • Коэффициенты f^ (ξ) — комплексные числа, имеющие две эквивалентные формы.  
    • Продукт с e^i2πξx имеет полярную и прямоугольную координатные формы.  
  • Отрицательная частота и периодические функции

    • Формула Эйлера вводит возможность отрицательной частоты.  
    • Преобразование Фурье периодической функции определяется через ряды Фурье.  
    • Преобразование Фурье периодической функции с периодом P равно сумме дельта-функций.  
  • Выборка преобразования Фурье

    • Преобразование Фурье интегрируемой функции может быть выбрано с регулярными интервалами.  
    • Выборка может быть получена из одного цикла периодической функции.  
    • Интегрируемость функции гарантирует сходимость периодического суммирования.  
  • Единицы и двойственные пространства

    • Переменная частоты должна иметь единицы, обратные единицам измерения исходной функции.  
    • Преобразование Фурье переходит из одного пространства функций в другое.  
    • ξ всегда следует принимать за линейную форму в пространстве своей области.  
  • Определение преобразования Фурье

    • Нет канонического способа сравнения двух версий реальной строки.  
    • Различные определения приводят к разным константам.  
    • В современной физике используется соглашение с i в показателе степени.  
  • Основные свойства преобразования Фурье

    • Линейность: a f(x) + b h(x) ⟺ F a f^ (ξ) + b h^ (ξ).  
    • Изменение времени: f(x − x0) ⟺ F e^ −i2πx0ξ f^ (ξ).  
    • Сдвиг частоты: e^i2πξ0x f(x) ⟺ F f^ (ξ − ξ0).  
    • Масштабирование по времени: f(ax) ⟺ F 1/|a| f^ (ξa).  
    • Симметрия: f(x) = f^ (ξ) + i f^ (−ξ).  
  • Сопряженность и действительная/мнимая части

    • (f(x))∗ ⟺ F (f^ (−ξ))∗.  
    • Ре f(x) ⟺ F 1/2 (f^ (ξ) + (f^ (−ξ))∗).  
    • Im f(x) ⟺ F 1/2i (f^ (ξ) − (f^ (−ξ))∗).  
  • Нулевая частотная составляющая и равномерность

    • f^ (0) = ∫−∞∞ f(x) dx.  
    • Преобразование Фурье интегрируемых функций равномерно непрерывно.  
    • f^ (ξ) → 0 как |ξ| → ∞.  
  • Теорема Планшереля и теорема Парсеваля

    • ⟨f, g⟩L2 = ∫−∞∞ f(x)g(x)¯dx = ∫−∞∞ f^ (ξ)g^ (ξ)¯dξ.  
    • ‖f‖L22 = ∫−∞∞ |f(x)|2dx = ∫−∞∞ |f^ (ξ)|2dξ.  
  • Теорема Планшереля

    • Расширяет преобразование Фурье до унитарного оператора на L2(R)  
    • Согласуется с исходным преобразованием Фурье на L1(R)  
    • Сохраняет энергию исходной величины  
  • Теорема Парсеваля

    • Доказана для рядов Фурье Ляпуновым  
    • Имеет смысл и для преобразования Фурье  
    • Часто называется формулой Парсеваля  
  • Теорема о свертке

    • Преобразование Фурье преобразует функции между сверткой и умножением  
    • Свертка определяется произведением преобразований Фурье  
    • В теории систем с линейной временной инвариантностью g(x) интерпретируется как импульсная характеристика системы  
  • Теорема о взаимной корреляции

    • Преобразование Фурье взаимной корреляции f(x) и g(x) равно произведению преобразований Фурье f(ξ) и g(ξ)  
    • Автокорреляция функции f(x) равна |f(ξ)|2  
  • Различие

    • Преобразование Фурье производной f(x) равно i2πξf(ξ)  
    • Преобразование Фурье n-й производной f(n) равно (i2πξ)n f(ξ)  
    • Преобразование Фурье xn f(x) равно (i2π)n dn/dξn f(ξ)  
  • Собственные функции

    • Преобразование Фурье имеет собственные функции, подчиняющиеся F[ψ] = λψ  
    • Собственные функции можно найти, решая однородное дифференциальное уравнение  
    • Функции Эрмита образуют полную ортонормированную систему собственных функций  
  • Дробное преобразование Фурье

    • Преобразование Фурье может быть представлено как сумма членов, взвешенных по собственным значениям  
    • Функции Эрмита экспоненциально быстро уменьшаются в частотной и временной областях  
    • Дробное преобразование Фурье используется в частотно-временном анализе  
  • Оператор N

    • Оператор N является числовым оператором квантового гармонического осциллятора  
    • Интерпретируется как генератор дробных преобразований Фурье и обычного непрерывного преобразования Фурье  
  • Собственные функции и периодичность

    • Собственные функции преобразования Фурье являются функциями Эрмита.  
    • Преобразование Фурье является четырехпериодическим, что позволяет восстанавливать функции.  
    • Оператор четности P связывает преобразование Фурье с его периодичностью.  
  • Связь с группой Гейзенберга

    • Группа Гейзенберга описывает унитарные операторы в гильбертовом пространстве L2(R).  
    • Преобразование Фурье является унитарным представлением группы Гейзенберга.  
    • Теорема Стоуна-фон Неймана связывает преобразование Фурье с группой Гейзенберга.  
  • Сложная область и преобразование Лапласа

    • Интеграл для преобразования Фурье может сходиться к сложной аналитической функции.  
    • Теорема Пейли-Винера связывает гладкость функции с её преобразованием Фурье.  
    • Преобразование Лапласа является частным случаем преобразования Фурье для причинных функций.  
  • Применение в обработке сигналов

    • Преобразование Лапласа используется для анализа фильтров и дифференциальных уравнений.  
    • Преобразование Лапласа позволяет анализировать системы с расходящимися или критическими элементами.  
    • Преобразование Лапласа применяется в обработке звука и для получения расширенных импульсных характеристик.  
  • Инверсия Фурье

    • Формула инверсии Фурье использует интегрирование по различным линиям, параллельным действительной оси.  
    • Теорема: Если f(t) = 0 при t < 0 и |f(t)| < Cea|t| для некоторых констант C, a > 0, то f(t) = ∫−∞∞f^(σ+iτ)e−i2πξt dσ.  
    • Формула обращения Меллина для преобразования Лапласа: f(t) = 1/i2π∫b−i∞b+i∞F(s)e−st ds для любого b > a.  
  • Преобразование Фурье в евклидовом пространстве

    • Преобразование Фурье может быть определено в любом произвольном числе измерений n.  
    • Основные свойства и теоремы Планшереля и Парсеваля справедливы для n-мерного преобразования Фурье.  
    • Преобразование Фурье остается равномерно непрерывным и выполняется лемма Римана–Лебега.  
  • Принцип неопределенности

    • Чем более концентрированной является функция f(x), тем более развернутым должно быть ее преобразование Фурье f(θ).  
    • Принцип неопределенности: D0(f)D0(f^) ≥ 1/16π2.  
    • Равенство достигается только для гауссовой функции с дисперсией σ2/2π.  
  • Синусоидальные и косинусоидальные преобразования

    • В первоначальной формулировке преобразования Фурье использовались синусы и косинусы.  
    • Абсолютно интегрируемая функция f может быть расширена в терминах истинных частот λ с помощью f(t) = ∫0∞(a(λ)cos(2πλt) + b(λ)sin(2πλt))dλ.  
    • Функции коэффициентов a и b можно найти с помощью косинусного и синусоидального преобразования Фурье.  
  • Сферические гармоники

    • Множество однородных гармонических многочленов степени k от Rn обозначается через Ak.  
    • Преобразование Фурье сопоставляет каждое пространство Hk с самим собой.  
    • Преобразование Фурье радиальной функции при k = 0 дает преобразование Ханкеля.  
  • Проблемы с ограничениями

    • В более высоких измерениях становится интересным изучать проблемы ограничения для преобразования Фурье.  
  • Ограничение преобразования Фурье

    • Преобразование Фурье не может быть определено на множествах с мерой 0.  
    • Ограничение преобразования Фурье единичной сферой в Rn ограничено при 1 ≤ p ≤ 2n + 2/n + 3.  
  • Частичная сумма и сходимость

    • В 1 измерении оператор частичной суммы сходится к функции в Lp.  
    • В n ≥ 2 множитель для единичного шара не ограничен, если p ≠ 2.  
  • Преобразование Фурье в L1 и L2

    • Преобразование Фурье в L1(Rn) ограничено и унитарно.  
    • В L2(Rn) преобразование Фурье задается неправильным интегралом.  
  • Преобразование Фурье в Lp

    • Для 1 < p < 2 преобразование Фурье определяется через интерполяцию Марцинкевича.  
    • В Lp(Rn) преобразование Фурье преобразует функцию в Lq(Rn), где q = p/p − 1.  
  • Распределения и преобразования Фурье

    • Преобразование Фурье может быть определено для распределений.  
    • Преобразование Фурье умеренных распределений подчиняется формуле умножения.  
  • Преобразование Фурье-Стилтьеса

    • Преобразование Фурье конечной борелевской меры задается интегралом.  
    • Лемма Римана-Лебега не выполняется для измерений.  
  • Локально компактные абелевы группы

    • Преобразование Фурье может быть обобщено на локально компактные абелевы группы.  
    • Локально компактные абелевы группы имеют трансляционно-инвариантную меру Хаара.  
  • Преобразование Фурье для функций в L1(G)

    • Преобразование Фурье определяется как интеграл по группе G.  
    • Функция f(x) преобразуется в f^(ξ) = ∫G ξ(x)f(x)dμ для любого ξ ∈ G^.  
    • Лемма Римана-Лебега утверждает, что f(θ) обращается в нуль на бесконечности на θ.  
  • Примеры и приложения

    • Преобразование Фурье для T = R/Z.  
    • Представление T на комплексной плоскости C.  
    • Таблица символов группы G.  
    • Внутреннее произведение между функциями класса.  
  • Преобразование Гельфанда

    • Преобразование Гельфанда тесно связано с картой двойственности Понтрягина.  
    • Преобразование Гельфанда дает изоморфизм между L1(G) и C0(A^), где A^ — мультипликативные линейные функционалы.  
  • Компактные неабелевы группы

    • Преобразование Фурье может быть определено для функций в неабелевой группе при условии компактности.  
    • Преобразование Фурье в неабелевой группе принимает значения в виде операторов Гильбертова пространства.  
  • Альтернативы преобразованию Фурье

    • Частотно-временные преобразования и распределения для представления сигналов.  
    • Обобщения преобразования Фурье, такие как кратковременное преобразование Фурье и дробное преобразование Фурье.  
    • Вейвлет-преобразования и чирплет-преобразования.  
  • Преобразование Фурье и его свойства

    • Преобразование Фурье измеряет амплитуду частотных составляющих сигнала.  
    • При добавлении к преобразованию Фурье на частоте -3 Гц амплитуда частотной составляющей 3 Гц равна 1.  
    • При попытке измерить частоту, которой нет, интеграл быстро изменяется между положительными и отрицательными значениями.  
  • Применение преобразования Фурье

    • Линейные операции в одной области имеют соответствующие операции в другой области.  
    • Дифференцирование во временной области соответствует умножению на частоту.  
    • Свертка во временной области соответствует умножению в частотной области.  
  • Гармонический анализ

    • Систематическое изучение взаимосвязи между частотной и временной областями.  
    • Включает виды функций или операций, которые «проще» в одной области.  
  • Анализ дифференциальных уравнений

    • Преобразование Фурье используется для решения дифференциальных уравнений в частных производных.  
    • Пример: волновое уравнение в одном измерении.  
  • Метод Фурье

    • Элементарные решения: cos(2πξ(x±t)) или sin(2πξ(x±t)).  
    • Интеграл, удовлетворяющий волновому уравнению, может быть интерпретирован как непрерывная линейная комбинация решений.  
    • Метод Фурье: нахождение коэффициентов a± и b± для удовлетворения граничным условиям.  
  • Концептуальная переформулировка

    • Преобразование Фурье используется для x и t, а не только для x.  
    • Волновое уравнение становится алгебраическим уравнением в ŷ.  
    • Элементарные решения выбираются как распределения на конике θ2 − f2 = 0.  
    • Инверсия Фурье дает выражения для граничных условий.  
  • Преобразование Фурье в линейной алгебре

    • Преобразование Фурье используется для решения линейных уравнений в частных производных с полиномиальными коэффициентами.  
    • Преобразование Фурье применяется для вычисления интегральных операторов Фурье и некоторых нелинейных уравнений.  
  • Спектроскопия с преобразованием Фурье

    • Преобразование Фурье используется в ядерном магнитном резонансе (ЯМР) и инфракрасной спектроскопии (FTIR).  
    • В ЯМР сигнал преобразуется из временной области в частотную.  
    • Преобразование Фурье также применяется в магнитно-резонансной томографии (МРТ) и масс-спектрометрии.  
  • Квантовая механика и преобразование Фурье

    • Преобразование Фурье используется для перехода от волновой функции положения к волновой функции импульса.  
    • Преобразование Фурье позволяет решать волновое уравнение Шредингера в нерелятивистской и релятивистской квантовой механике.  
    • В квантовой теории поля преобразование Фурье используется для квантования гармонических генераторов.  
  • Обработка сигналов и преобразование Фурье

    • Преобразование Фурье применяется для спектрального анализа временных рядов.  
    • Автокорреляционная функция используется для измерения корреляции между значениями сигнала.  
    • Преобразование Фурье автокорреляционной функции называется функцией спектральной плотности мощности.  
    • Спектральный анализ временных рядов помогает определить важные частоты для проектирования фильтров и оценки измерительных приборов.  
  • Обозначения и замены

    • Используются различные обозначения для преобразования Фурье, такие как f^, F, F(f), F(f(t)), F{f}, F(f(t)) и другие.  
    • В науке и технике часто используются замены, такие как ξ → f, x → t, f → x, f^ → X.  
  • Интерпретация комплексной функции

    • Комплексная функция f(θ) может быть выражена в полярных координатах как f^ = A(ξ)e^iφ(ξ).  
    • Амплитуда A(ξ) и фаза φ(ξ) определяются как A(ξ) = |f^| и φ(ξ) = arg(f^).  
  • Преобразование Фурье как отображение

    • Преобразование Фурье можно рассматривать как отображение в функциональных пространствах, обозначаемое как F.  
    • Результат применения преобразования Фурье снова является функцией, обозначаемой как ff(θ) или (ff)(θ).  
  • Методы расчета

    • Методы расчета зависят от формы исходной функции и желаемой выходной функции.  
    • Для дискретнозначных x интеграл преобразования становится суммированием синусоид.  
    • Дискретное преобразование Фурье (DFT) обычно вычисляется с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (FFT).  
  • Аналитическое и численное интегрирование

    • Аналитическое интегрирование функций замкнутой формы возможно с помощью систем компьютерной алгебры.  
    • Численное интегрирование непрерывных функций замкнутой формы также возможно.  
  • Таблицы важных преобразований Фурье

    • Приведены таблицы преобразований Фурье для различных функций и распределений.  
    • Включены таблицы для одномерных, двумерных и n-мерных функций.  
  • Квадратичное преобразование Фурье

    • Преобразование, используемое для анализа и обработки сигналов  
    • Применяется в различных областях, включая музыку и кристаллографию  
  • Кратковременное преобразование Фурье

    • Преобразование, используемое для быстрого преобразования Фурье  
    • Применяется в задачах, где требуется высокая скорость обработки данных  
  • Оценка спектральной плотности

    • Метод оценки спектральной плотности сигнала  
    • Используется для анализа и интерпретации спектральных характеристик сигнала  
  • Символическая интеграция

    • Метод, используемый для символьной интеграции  
    • Применяется в различных областях, включая математику и физику  
  • Дисперсионное преобразование Фурье с растягиванием во времени

    • Преобразование, используемое для дисперсионного анализа  
    • Применяется в задачах, где важно растяжение сигнала во времени  
  • Преобразование (математика)

    • Общее название для различных математических преобразований  
    • Включает в себя как линейные, так и нелинейные преобразования  
  • Записи

    • Ссылки на различные записи и материалы, связанные с преобразованием Фурье  
  • Цитаты

    • Цитаты и выдержки из различных источников  
  • Рекомендации

    • Рекомендации по использованию и применению преобразования Фурье  
  • Внешние ссылки

    • Ссылки на внешние ресурсы и материалы, связанные с преобразованием Фурье  

Полный текст статьи:

Преобразование Фурье — Arc.Ask3.Ru

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх