Оглавление
- 1 Пространство Тейхмюллера
- 1.1 Определение пространства Тейхмюллера
- 1.2 История и развитие
- 1.3 Примеры и топология
- 1.4 Дополнительные примеры
- 1.5 Конформные структуры и пространства Тейхмюллера
- 1.6 Пространства Тейхмюллера как пространства представления
- 1.7 Бесконечномерные пространства Тейхмюллера
- 1.8 Действие группы классов отображения
- 1.9 Координаты Фенхеля-Нильсена и координаты сдвига
- 1.10 Землетрясения и аналитическая теория
- 1.11 Квазиконформные отображения и отображение Тейхмюллера
- 1.12 Метрика Тейхмюллера
- 1.13 Метрика Вейля–Петерссона
- 1.14 Компактификации пространств Тейхмюллера
- 1.15 Крупномасштабная геометрия
- 1.16 Сложная геометрия
- 1.17 Метрики Келера
- 1.18 Эквивалентность показателей
- 1.19 Полный текст статьи:
- 2 Пространство Тейхмюллера
Пространство Тейхмюллера
-
Определение пространства Тейхмюллера
- Пространство Тейхмюллера параметризует сложные структуры на поверхности S до действия гомеоморфизмов.
- Каждая точка в пространстве Тейхмюллера представляет класс изоморфизмов римановых поверхностей.
- Пространство Тейхмюллера можно рассматривать как пространство модулей для отмеченной гиперболической структуры.
-
История и развитие
- Пространства модулей для римановых поверхностей изучались с XIX века.
- Освальд Тейхмюллер ввел квазиконформные отображения, что позволило глубже изучить пространства модулей.
- После Второй мировой войны теория развивалась аналитически, особенно Ларсом Альфорсом и Липманом Берсом.
- Геометрический подход к изучению пространства Тейхмюллера возродился в конце 1970-х годов.
-
Примеры и топология
- Пространство Тейхмюллера для сферы S2 является единственной точкой, а для R2 содержит две точки.
- Пространство Тейхмюллера для тора T2 является H.
- Пространства Тейхмюллера замкнутых поверхностей конечного типа могут быть реализованы как набор отмеченных гиперболических поверхностей.
- Топология пространства Тейхмюллера может быть определена с помощью гиперболических метрик и функций длины.
-
Дополнительные примеры
- Пространство Тейхмюллера сферы с тремя отверстиями является точкой.
- Пространства Тейхмюллера сфер с четырьмя и одним отверстием реализуются как верхняя полуплоскость.
- Пространство Тейхмюллера можно определить с помощью конформных структур.
-
Конформные структуры и пространства Тейхмюллера
- Конформные структуры аналогичны сложным структурам в двух измерениях.
- Теорема униформизации утверждает, что в каждом конформном классе римановых метрик существует уникальная метрика постоянной кривизны.
-
Пространства Тейхмюллера как пространства представления
- Пространство Тейхмюллера можно интерпретировать как пространство для групп поверхностей.
- Для гиперболических поверхностей пространство Тейхмюллера находится в биекции с множеством инъективных представлений фундаментальной группы.
- В общем случае, пространство Тейхмюллера включает представления с дополнительными условиями.
-
Бесконечномерные пространства Тейхмюллера
- Поверхности, не относящиеся к конечному типу, допускают гиперболические структуры, параметризованные бесконечномерными пространствами.
- Пространство Тейхмюллера слоения поверхностями также является бесконечномерным.
-
Действие группы классов отображения
- Группа классов отображения действует на пространство Тейхмюллера, что делает его универсальным покрытием orbifold для пространства модулей.
- Действие группы классов отображения разрывно, а частное — это пространство модулей.
-
Координаты Фенхеля-Нильсена и координаты сдвига
- Координаты Фенхеля-Нильсена связаны с резким разложением поверхности на пары брюк.
- Координаты сдвига определяются длинами сдвига для каждой пары сторон треугольников в триангуляции.
-
Землетрясения и аналитическая теория
- Землетрясения определяются изменением одной координаты Фенхеля-Нильсена.
- Теорема Терстона утверждает, что две точки в пространстве Тейхмюллера соединены уникальной траекторией землетрясения.
-
Квазиконформные отображения и отображение Тейхмюллера
- Квазиконформные отображения деформируют конформную структуру ограниченным образом.
- Теорема Тейхмюллера утверждает, что между двумя отмеченными римановыми поверхностями существует уникальное квазиконформное отображение.
-
Метрика Тейхмюллера
- Определяется как расстояние между точками в пространстве Тейхмюллера, равное 1/2 логарифма растяжения отображения Тейхмюллера.
- Является полной метрикой, индуцирующей топологию пространства Тейхмюллера.
- Используется для изучения метрической геометрии пространства Тейхмюллера.
-
Метрика Вейля–Петерссона
- Определяется как риманова метрика на квадратичных дифференциалах в пространстве Тейхмюллера.
- Не является симметричной.
-
Компактификации пространств Тейхмюллера
- Существует несколько неэквивалентных компактификаций, включая компактификацию Терстона и компактификацию Берса.
- Компактификация Терстона является наиболее широко используемой, так как она инвариантна относительно модулярной группы.
-
Крупномасштабная геометрия
- Пространство Тейхмюллера содержит плоские подпространства размерности 3g-3+k.
- Не существует квазиизометрически вложенных плоскостей с большим размером.
- Пространство Тейхмюллера обладает свойствами, характерными для гиперболических пространств.
-
Сложная геометрия
- Пространство Тейхмюллера является сложным многообразием и обладает каратеодориевой метрикой.
- Пространство Тейхмюллера является гиперболическим пространством Кобаяши.
- Вложение Bers реализует пространство Тейхмюллера как область голоморфии.
-
Метрики Келера
- Метрика Вейля–Петерссона является показателем Келера, но не полным.
- Ченг и Яу показали существование уникальной полной метрики Келера–Эйнштейна.
- Пространство Тейхмюллера также содержит полную келеровскую метрику ограниченной секционной кривизны.
-
Эквивалентность показателей
- Все метрики пространства Тейхмюллера, кроме неполной метрики Вейля–Петерссона, квазиизометричны друг другу.