Собственные значения и собственные векторы

Оглавление1 Собственные значения и векторы1.1 Определение собственных векторов и значений1.2 Геометрический смысл1.3 Применение в линейной алгебре1.4 История и терминология1.5 Численные […]

Оглавление

Собственные значения и векторы

  • Определение собственных векторов и значений

    • Собственный вектор — это вектор, направление которого не меняется при линейном преобразовании.  
    • Собственное значение — это коэффициент, на который масштабируется собственный вектор.  
    • Собственные векторы и значения важны для характеристики линейных преобразований.  
  • Геометрический смысл

    • Векторы — это многомерные величины с величиной и направлением.  
    • Линейное преобразование вращает, растягивает или сдвигает векторы.  
    • Собственные векторы — это векторы, которые только растягиваются без вращения и сдвига.  
  • Применение в линейной алгебре

    • Собственные векторы и значения используются для анализа устойчивости, вибраций, атомных орбиталей и распознавания лиц.  
    • Собственные значения и векторы важны для диагонализации матриц.  
  • История и терминология

    • Собственные значения и векторы возникли при изучении квадратичных форм и дифференциальных уравнений.  
    • Термин «характеристический корень» был введен Огюстеном-Луи Коши.  
    • Дэвид Гильберт первым использовал термин «собственный» для обозначения собственных значений и векторов.  
  • Численные методы

    • Первый численный алгоритм для вычисления собственных значений и векторов появился в 1929 году.  
    • QR-алгоритм был предложен Джоном Дж. Ф. Фрэнсисом и Верой Кублановской в 1961 году.  
  • Линейное преобразование векторов

    • Линейное преобразование векторов определяется матрицей A.  
    • Уравнение (1) является уравнением на собственные значения для матрицы A.  
  • Характеристический многочлен

    • Характеристический многочлен det(A − λI) равен нулю при λ = λi.  
    • Корни характеристического многочлена являются собственными значениями матрицы A.  
  • Собственные значения и векторы

    • Собственные значения могут быть комплексными числами.  
    • Собственные векторы соответствуют собственным значениям и могут быть комплексными.  
  • Спектр матрицы

    • Спектр матрицы — это список собственных значений с их кратностями.  
    • Спектральный радиус матрицы — это максимальное абсолютное значение любого собственного значения.  
  • Алгебраическая кратность

    • Алгебраическая кратность µA(λi) собственного значения равна его кратности как корня характеристического многочлена.  
    • Размер алгебраической кратности связан с размерностью матрицы.  
  • Собственные пространства и геометрическая кратность

    • Собственное пространство E, связанное с λ, является линейным подпространством.  
    • Геометрическая кратность λ — это размерность нулевого пространства (A − λI).  
    • Геометрическая кратность не может превышать алгебраическую кратность.  
  • Собственные значения и векторы

    • Собственные значения матрицы A определяются как значения, при которых матрица A умножает вектор на скаляр.  
    • Собственные векторы матрицы A — это векторы, которые умножают матрицу на скаляр, равный собственному значению.  
  • Алгебраическая и геометрическая кратность

    • Алгебраическая кратность собственного значения — это количество раз, когда матрица A умножает вектор на скаляр, равный собственному значению.  
    • Геометрическая кратность собственного значения — это размерность собственного пространства, связанного с этим собственным значением.  
  • Свойства собственных значений и векторов

    • След матрицы A равен сумме всех собственных значений.  
    • Определитель матрицы A равен произведению всех собственных значений.  
    • Собственные значения k-й степени матрицы A равны λ1^k, …, λn^k.  
    • Матрица A обратима тогда и только тогда, когда все собственные значения отличны от нуля.  
    • Собственные значения эрмитовой матрицы вещественны.  
    • Собственные значения унитарной матрицы имеют абсолютное значение 1.  
  • Левые и правые собственные векторы

    • Левый собственный вектор — это вектор, который умножает матрицу на скаляр, равный собственному значению.  
    • Правый собственный вектор — это транспонирование левого собственного вектора.  
    • Левый и правый собственные векторы связаны с одними и теми же собственными значениями.  
  • Диагонализация и собственное разложение

    • Матрица A диагонализуема, если её собственные векторы образуют базис.  
    • Собственное разложение матрицы A — это преобразование подобия, где A раскладывается на собственные векторы, диагональную матрицу и обратную матрицу собственных векторов.  
    • Матрица, не поддающаяся диагонализации, называется дефектной.  
  • Вариационная характеристика

    • В эрмитовом случае наибольшее собственное значение является максимальным значением квадратичной формы.  
  • Примеры матриц

    • Пример двумерной матрицы: A = [2 1 1 2].  
  • Определение собственных значений и векторов

    • Собственные значения матрицы определяются характеристическим полиномом.  
    • Собственные векторы соответствуют собственным значениям и могут быть найдены из характеристического полинома.  
  • Примеры собственных значений и векторов

    • Пример с матрицей 2×2: собственные значения λ1 = 1 и λ2 = 3, собственные векторы vλ1 = [1, -1] и vλ2 = [1, 1].  
    • Пример с трехмерной матрицей: собственные значения λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = 11, собственные векторы [1, 0, 0], [0, -2, 1], [0, 1, 2].  
    • Пример с комплексной матрицей: собственные значения λ1 = 1, λ2 = -1/2 + i/2, λ3 = -1/2 — i/2, собственные векторы [1, λ2, λ3], [1, λ3, λ2].  
  • Диагональные и треугольные матрицы

    • Диагональные матрицы: собственные значения равны диагональным элементам.  
    • Треугольные матрицы: собственные значения равны элементам главной диагонали.  
  • Матрица с повторяющимися собственными значениями

    • Пример с матрицей 4×4: собственные значения λ1 = 2 и λ2 = 3, алгебраическая кратность 2, геометрическая кратность 1.  
  • Связь между собственными значениями и векторами

    • Для Hermitian матриц: норма квадрата j-го компонента собственного вектора может быть выражена через собственные значения и собственные значения миноров.  
  • Применение в дифференциальных операторах

    • Собственные значения и векторы используются в дифференциальных операторах для нахождения решений.  
  • Определение собственных значений и векторов

    • Собственные значения и векторы линейного преобразования T остаются в силе для бесконечномерных пространств.  
    • Дифференциальные операторы в функциональных пространствах являются примером линейных преобразований.  
  • Пример производного оператора

    • Производный оператор d/dt имеет уравнение на собственные значения d/dt f(t) = λf(t).  
    • Решение уравнения — экспоненциальная функция f(t) = f(0)e^λt.  
  • Общее определение

    • Собственные значения и векторы определяются для произвольных линейных преобразований в произвольных векторных пространствах.  
    • Уравнение на собственные значения — T(v) = λv.  
  • Собственные пространства и геометрическая множественность

    • Собственное пространство E = {v: T(v) = λv} является линейным подпространством V.  
    • Геометрическая кратность yT(λ) — размерность собственного пространства, связанного с λ.  
    • Собственные пространства образуют прямую сумму, и сумма размерностей не может превышать размерности V.  
  • Спектральная теория

    • Оператор (T − λI) не имеет обратного значения для бесконечномерных пространств.  
    • Спектр оператора включает все собственные значения, но не ограничивается ими.  
  • Ассоциативные алгебры и теория представлений

    • Ассоциативные алгебры действуют на модули, аналогично линейным преобразованиям.  
    • Весовые векторы и весовые пространства аналогичны собственным векторам и собственным пространствам.  
  • Динамические уравнения

    • Разностные уравнения решаются с помощью характеристического уравнения.  
    • Дифференциальные уравнения решаются аналогично.  
  • Расчет собственных значений и векторов

    • Классический метод нахождения собственных значений и векторов сложен для матриц большого размера.  
    • Точные формулы для корней многочлена существуют только для матриц порядка 4 и меньше.  
    • Собственные векторы находятся путем решения системы линейных уравнений.  
  • Собственные значения и векторы

    • Собственные значения и векторы матрицы определяются характеристическим уравнением.  
    • Собственные векторы могут быть найдены итеративно, умножая вектор на матрицу или её обратную.  
    • Собственные значения могут быть вычислены через сопряженную транспозицию собственного вектора.  
  • Современные методы

    • QR-алгоритм и его модификации используются для вычисления собственных значений и векторов.  
    • Алгоритм Ланцоша эффективен для больших эрмитовых разреженных матриц.  
  • Приложения

    • Геометрические преобразования: собственные значения и векторы помогают понять линейные преобразования фигур.  
    • Анализ главных компонент: собственные значения и векторы используются для уменьшения размерности данных.  
    • Графики: собственные значения и векторы определяют центральность вершин и разбиение на кластеры.  
    • Цепи Маркова: собственные значения определяют переход системы в устойчивое состояние.  
    • Анализ вибрации: собственные значения и векторы описывают собственные частоты и формы колебаний.  
    • Тензор момента инерции: собственные векторы определяют главные оси твердого тела.  
    • Тензор напряжений: собственные значения и векторы определяют основные компоненты тензора напряжений.  
    • Уравнение Шредингера: собственные значения и векторы используются для описания связанных состояний в квантовой механике.  
  • Уравнение Шредингера в матричном виде

    • Вектор состояния системы представляется в виде |ΨE⟩.  
    • Уравнение Шредингера имеет вид H|ΨE⟩ = E|ΨE⟩, где H — наблюдаемый оператор, а E — собственное значение.  
  • Волновой перенос

    • Свет, акустические волны и микроволны рассеиваются при прохождении через неупорядоченную систему.  
    • Матрица передачи поля t описывает когерентный перенос волн.  
    • Собственные векторы оператора передачи формируют входные волновые фронты.  
    • Собственные значения соответствуют коэффициенту пропускания интенсивности.  
  • Молекулярные орбитали

    • В квантовой механике орбитали определяются собственными векторами оператора Фока.  
    • Собственные значения интерпретируются как потенциалы ионизации.  
    • Уравнения решаются методом самосогласованного поля.  
  • Геология и гляциология

    • Собственные векторы и значения используются для обобщения структуры класта.  
    • Данные собираются для сотен или тысяч обломков и сравниваются графически.  
    • Ориентация кластера определяется по трем собственным векторам.  
  • Базовый номер воспроизведения

    • Основной номер воспроизведения (R0) — среднее число людей, которых может заразить один инфекционист.  
    • R0 — наибольшее собственное значение матрицы следующего поколения.  
  • Собственные грани

    • Собственные векторы ковариационной матрицы изображений лиц называются eigenfaces.  
    • Eigenfaces полезны для сжатия данных и идентификации лиц.  
    • Собственные голоса представляют вариативность в произношении слов.  
  • Теория и приложения

    • Теория противоположных значений, собственный оператор, собственная плоскость, собственные моменты.  
    • Алгоритм определения собственных значений, квантовые состояния, нормальная форма Джордана.  
    • Список программного обеспечения для численного анализа, нелинейная собственная проблема, нормальное собственное значение, квадратичная задача на собственные значения.  

Полный текст статьи:

Собственные значения и собственные векторы

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх