Оглавление
- 1 Собственные значения и векторы
- 1.1 Определение собственных векторов и значений
- 1.2 Геометрический смысл
- 1.3 Применение в линейной алгебре
- 1.4 История и терминология
- 1.5 Численные методы
- 1.6 Линейное преобразование векторов
- 1.7 Характеристический многочлен
- 1.8 Собственные значения и векторы
- 1.9 Спектр матрицы
- 1.10 Алгебраическая кратность
- 1.11 Собственные пространства и геометрическая кратность
- 1.12 Собственные значения и векторы
- 1.13 Алгебраическая и геометрическая кратность
- 1.14 Свойства собственных значений и векторов
- 1.15 Левый и правый собственные векторы
- 1.16 Диагонализация и собственное разложение
- 1.17 Вариационная характеристика
- 1.18 Примеры матриц
- 1.19 Определение собственных значений и векторов
- 1.20 Примеры собственных значений и векторов
- 1.21 Диагональные и треугольные матрицы
- 1.22 Матрица с повторяющимися собственными значениями
- 1.23 Связь между собственными значениями и векторами
- 1.24 Применение в дифференциальных операторах
- 1.25 Определение собственных значений и векторов
- 1.26 Пример производного оператора
- 1.27 Общее определение
- 1.28 Собственные пространства и геометрическая множественность
- 1.29 Спектральная теория
- 1.30 Ассоциативные алгебры и теория представлений
- 1.31 Динамические уравнения
- 1.32 Расчет собственных значений и векторов
- 1.33 Собственные значения и векторы
- 1.34 Современные методы
- 1.35 Приложения
- 1.36 Уравнение Шредингера в матричном виде
- 1.37 Волновой перенос
- 1.38 Молекулярные орбитали
- 1.39 Геология и гляциология
- 1.40 Базовый номер воспроизведения
- 1.41 Собственные грани
- 1.42 Полный текст статьи:
- 2 Собственные значения и собственные векторы
Собственные значения и векторы
-
Определение собственных векторов и значений
- Собственный вектор — это вектор, направление которого не меняется при линейном преобразовании.
- Собственное значение — это коэффициент, на который масштабируется собственный вектор.
- Собственные векторы и значения важны для характеристики линейных преобразований.
-
Геометрический смысл
- Векторы — это многомерные величины с величиной и направлением.
- Линейное преобразование вращает, растягивает или сдвигает векторы.
- Собственные векторы — это векторы, которые только растягиваются без вращения и сдвига.
-
Применение в линейной алгебре
- Собственные векторы и значения используются для анализа устойчивости, вибраций, атомных орбиталей и распознавания лиц.
- Собственные значения и векторы важны для диагонализации матриц.
-
История и терминология
- Собственные значения и векторы возникли при изучении квадратичных форм и дифференциальных уравнений.
- Термин «характеристический корень» был введен Огюстеном-Луи Коши.
- Дэвид Гильберт первым использовал термин «собственный» для обозначения собственных значений и векторов.
-
Численные методы
- Первый численный алгоритм для вычисления собственных значений и векторов появился в 1929 году.
- QR-алгоритм был предложен Джоном Дж. Ф. Фрэнсисом и Верой Кублановской в 1961 году.
-
Линейное преобразование векторов
- Линейное преобразование векторов определяется матрицей A.
- Уравнение (1) является уравнением на собственные значения для матрицы A.
-
Характеристический многочлен
- Характеристический многочлен det(A − λI) равен нулю при λ = λi.
- Корни характеристического многочлена являются собственными значениями матрицы A.
-
Собственные значения и векторы
- Собственные значения могут быть комплексными числами.
- Собственные векторы соответствуют собственным значениям и могут быть комплексными.
-
Спектр матрицы
- Спектр матрицы — это список собственных значений с их кратностями.
- Спектральный радиус матрицы — это максимальное абсолютное значение любого собственного значения.
-
Алгебраическая кратность
- Алгебраическая кратность µA(λi) собственного значения равна его кратности как корня характеристического многочлена.
- Размер алгебраической кратности связан с размерностью матрицы.
-
Собственные пространства и геометрическая кратность
- Собственное пространство E, связанное с λ, является линейным подпространством.
- Геометрическая кратность λ — это размерность нулевого пространства (A − λI).
- Геометрическая кратность не может превышать алгебраическую кратность.
-
Собственные значения и векторы
- Собственные значения матрицы A определяются как значения, при которых матрица A умножает вектор на скаляр.
- Собственные векторы матрицы A — это векторы, которые умножают матрицу на скаляр, равный собственному значению.
-
Алгебраическая и геометрическая кратность
- Алгебраическая кратность собственного значения — это количество раз, когда матрица A умножает вектор на скаляр, равный собственному значению.
- Геометрическая кратность собственного значения — это размерность собственного пространства, связанного с этим собственным значением.
-
Свойства собственных значений и векторов
- След матрицы A равен сумме всех собственных значений.
- Определитель матрицы A равен произведению всех собственных значений.
- Собственные значения k-й степени матрицы A равны λ1^k, …, λn^k.
- Матрица A обратима тогда и только тогда, когда все собственные значения отличны от нуля.
- Собственные значения эрмитовой матрицы вещественны.
- Собственные значения унитарной матрицы имеют абсолютное значение 1.
-
Левый и правый собственные векторы
- Левый собственный вектор — это вектор, который умножает матрицу на скаляр, равный собственному значению.
- Правый собственный вектор — это транспонирование левого собственного вектора.
- Левый и правый собственные векторы связаны с одними и теми же собственными значениями.
-
Диагонализация и собственное разложение
- Матрица A диагонализуема, если её собственные векторы образуют базис.
- Собственное разложение матрицы A — это преобразование подобия, где A раскладывается на собственные векторы, диагональную матрицу и обратную матрицу собственных векторов.
- Матрица, не поддающаяся диагонализации, называется дефектной.
-
Вариационная характеристика
- В эрмитовом случае наибольшее собственное значение является максимальным значением квадратичной формы.
-
Примеры матриц
- Пример двумерной матрицы: A = [2 1 1 2].
-
Определение собственных значений и векторов
- Собственные значения матрицы определяются характеристическим полиномом.
- Собственные векторы соответствуют собственным значениям и могут быть найдены из характеристического полинома.
-
Примеры собственных значений и векторов
- Пример с матрицей 2×2: собственные значения λ1 = 1 и λ2 = 3, собственные векторы vλ1 = [1, -1] и vλ2 = [1, 1].
- Пример с трехмерной матрицей: собственные значения λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = 11, собственные векторы [1, 0, 0], [0, -2, 1], [0, 1, 2].
- Пример с комплексной матрицей: собственные значения λ1 = 1, λ2 = -1/2 + i/2, λ3 = -1/2 — i/2, собственные векторы [1, λ2, λ3], [1, λ3, λ2].
-
Диагональные и треугольные матрицы
- Диагональные матрицы имеют собственные значения на диагонали.
- Треугольные матрицы имеют собственные значения на главной диагонали.
-
Матрица с повторяющимися собственными значениями
- Пример с матрицей 4×4: собственные значения λ1 = 2 и λ2 = 3, алгебраическая кратность 2, геометрическая кратность 1.
-
Связь между собственными значениями и векторами
- Для Hermitian матриц существует формула для вычисления нормы вектора через собственные значения и миноры.
-
Применение в дифференциальных операторах
- Собственные значения и векторы используются в дифференциальных операторах для решения задач.
-
Определение собственных значений и векторов
- Собственные значения и векторы линейного преобразования T остаются в силе для бесконечномерных пространств.
- Дифференциальные операторы в функциональных пространствах являются примером линейных преобразований.
-
Пример производного оператора
- Производный оператор d/dt имеет уравнение на собственные значения d/dt f(t) = λf(t).
- Решение уравнения — экспоненциальная функция f(t) = f(0)e^λt.
-
Общее определение
- Собственные значения и векторы определяются для произвольных линейных преобразований в произвольных векторных пространствах.
- Уравнение на собственные значения — T(v) = λv.
-
Собственные пространства и геометрическая множественность
- Собственное пространство E = {v: T(v) = λv} является линейным подпространством V.
- Геометрическая кратность yT(λ) — размерность собственного пространства, связанного с λ.
- Собственные пространства образуют прямую сумму, и сумма размерностей не может превышать размерности V.
-
Спектральная теория
- Оператор (T − λI) не имеет обратного значения для бесконечномерных пространств.
- Спектр оператора включает все собственные значения, но не ограничивается ими.
-
Ассоциативные алгебры и теория представлений
- Ассоциативные алгебры действуют на модули, аналогично линейным преобразованиям.
- Весовые векторы и весовые пространства аналогичны собственным векторам и собственным пространствам.
-
Динамические уравнения
- Разностные уравнения решаются с помощью характеристического уравнения.
- Дифференциальные уравнения решаются аналогично.
-
Расчет собственных значений и векторов
- Классический метод нахождения собственных значений и векторов сложен для матриц большого размера.
- Точные формулы для корней многочлена существуют только для матриц порядка 4 и меньше.
- Собственные векторы находятся путем решения системы линейных уравнений.
-
Собственные значения и векторы
- Собственные значения и векторы матрицы определяются характеристическим уравнением.
- Собственные векторы могут быть найдены итеративно, умножая вектор на матрицу или её обратную.
- Собственные значения могут быть вычислены через сопряженную транспозицию собственного вектора.
-
Современные методы
- QR-алгоритм и его модификации используются для вычисления собственных значений и векторов.
- Алгоритм Ланцоша эффективен для больших эрмитовых разреженных матриц.
-
Приложения
- Геометрические преобразования: собственные значения и векторы помогают понять линейные преобразования.
- Анализ главных компонент: собственные значения и векторы используются для уменьшения размерности данных.
- Графики: собственные значения и векторы определяют центральность вершин и разбиение на кластеры.
- Цепи Маркова: собственные значения определяют переход системы в устойчивое состояние.
- Анализ вибрации: собственные значения и векторы описывают собственные частоты и формы колебаний.
- Тензор момента инерции: собственные векторы определяют главные оси твердого тела.
- Тензор напряжений: собственные значения и векторы определяют основные компоненты тензора напряжений.
- Уравнение Шредингера: собственные значения и векторы используются для описания связанных состояний в квантовой механике.
-
Уравнение Шредингера в матричном виде
- Вектор состояния системы представляется в виде |ΨE⟩.
- Уравнение Шредингера имеет вид H|ΨE⟩ = E|ΨE⟩, где H — наблюдаемый оператор, а E — собственное значение.
-
Волновой перенос
- Свет, акустические волны и микроволны рассеиваются при прохождении через неупорядоченную систему.
- Матрица передачи поля t†t формирует входные волновые фронты, соответствующие собственным каналам системы.
- Собственные значения τ соответствуют коэффициенту пропускания интенсивности.
-
Молекулярные орбитали
- В квантовой механике орбитали определяются собственными векторами оператора Фока.
- Собственные значения интерпретируются как потенциалы ионизации.
- Уравнения решаются методом самосогласованного поля.
-
Геология и гляциология
- Собственные векторы и значения используются для обобщения структуры класта.
- Данные собираются для сотен или тысяч обломков и сравниваются графически.
- Ориентация кластера определяется по трем собственным векторам и их собственным значениям.
-
Базовый номер воспроизведения
- Основной номер воспроизведения (R0) — среднее число людей, которых может заразить один инфекционист.
- R0 — наибольшее собственное значение матрицы следующего поколения.
-
Собственные грани
- Собственные векторы ковариационной матрицы изображений лиц называются eigenfaces.
- Eigenfaces полезны для сжатия данных и идентификации лиц.
- Собственные голоса представляют вариативность в произношении слов и используются в системах автоматического распознавания речи.