Тензор кривизны Римана
-
Определение и свойства тензора кривизны Римана
- Тензор кривизны Римана является симметричным тензором второго ранга, который описывает кривизну риманова многообразия.
- Он связан с тензором Римана через формулу Римана-Кристоффеля и имеет компоненты, которые зависят от метрического тензора и кривизны.
-
Геометрическое значение и неголономность
- Тензор кривизны Римана описывает отклонение вектора при параллельном переносе вдоль замкнутой кривой.
- В общем случае вектор не возвращается в исходное положение после прохождения замкнутой кривой.
- Тензор кривизны Римана измеряет неголономность многообразия.
-
Параллельный перенос и тензор кривизны
- Параллельный перенос вектора вдоль кривой связан с тензором кривизны через параллельную транспортную карту.
- Тензор кривизны Римана позволяет определить отклонение вектора после параллельного переноса.
-
Координатное выражение и симметрии
- Тензор кривизны Римана может быть записан в координатах с использованием символов Кристоффеля.
- Он обладает определенными симметриями и тождествами, включая тождества Бьянки.
-
Особые случаи и пространственные формы
- Для двумерных поверхностей тензор Римана имеет только одну независимую компоненту.
- Пространственные формы характеризуются постоянной кривизной в сечениях.
-
Рекомендации
- Статья содержит введение в математику общей теории относительности и разложение тензора кривизны Римана.