Теория множеств Цермело–Френкеля

• Основы теории множеств

  • Теория множеств — это раздел математики, изучающий свойства множеств. 
  • Множество — это набор объектов, которые могут быть идентифицированы и объединены. 
  • Множество может быть конечным или бесконечным, и его элементы могут быть упорядочены. 

• Аксиомы теории множеств

  • Аксиомы — это утверждения, которые принимаются без доказательства. 
  • В теории множеств используются аксиомы, которые описывают свойства множеств и операций над ними. 
  • Аксиомы теории множеств включают аксиомы объединения, пересечения, пустого множества и другие. 

• Аксиоматическая схема спецификации

  • Эта схема утверждает, что для любого предиката существует множество, удовлетворяющее этому предикату. 
  • Она позволяет создавать подмножества, но не позволяет создавать объекты более общей формы. 

• Аксиома спаривания

  • Эта аксиома утверждает, что для любых двух множеств существует множество, содержащее их элементы. 
  • Она является частью Z, но избыточна в ZF, так как следует из схемы аксиомы замены. 

• Аксиома объединения

  • Эта аксиома утверждает, что для любого множества множеств существует множество, содержащее каждый элемент, который является членом одного из множеств в этом множестве. 

• Схема замены аксиомы

  • Эта схема утверждает, что изображение множества при любой функции также будет находиться внутри множества. 
  • Она используется для доказательства существования множества, содержащего все элементы, которые являются членами некоторого множества. 

• Аксиома бесконечности

  • Эта аксиома утверждает существование множества, содержащего бесконечно много элементов. 
  • Она необходима для доказательства существования множества, содержащего пустое множество в качестве элемента. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.