Оглавление
- 1 Топология Гротендика
- 1.1 Топология Гротендика
- 1.2 Определение пучков и когомологий
- 1.3 История и применение
- 1.4 Значение термина
- 1.5 Мотивация и определение
- 1.6 Аксиомы топологии Гротендика
- 1.7 Претопологии Гротендика
- 1.8 Топологии и предтопологии
- 1.9 Узлы и связки
- 1.10 Примеры сайтов
- 1.11 Топологии в категории схем
- 1.12 Кристаллическая топология
- 1.13 Непрерывные и смежные функторы
- 1.14 Морфизмы сайтов
- 1.15 Категория волокнистых материалов
- 1.16 Полный текст статьи:
- 2 Топология Гротендика
Топология Гротендика
-
Топология Гротендика
- Структура категории C, заставляющая объекты действовать как открытые множества топологического пространства
- Категория вместе с топологией называется сайтом
- Топологии Гротендика аксиоматизируют понятие открытой оболочки
-
Определение пучков и когомологий
- Пучки определяются через покрытия, предоставляемые топологией Гротендика
- Топологии Гротендика используются для определения теорий когомологий, таких как ℓ-адические, плоские и кристаллические когомологии
-
История и применение
- Топологии Гротендика впервые использованы Александром Гротендиком для определения конечных когомологий схемы
- Находят применение в теории жесткой аналитической геометрии Джона Тейта
-
Значение термина
- Термин “топология Гротендика” изменился со временем
- Артин использовал претопологии Гротендика, Жиро изменил определение, используя сита
-
Мотивация и определение
- Классическое определение пучка начинается с топологического пространства X
- Топологии Гротендика заменяют открытые множества семейством открытых погружений
- Сита и покрывающие семейства аксиоматизируются, заменяя открытые множества и поточечное покрытие
-
Аксиомы топологии Гротендика
- Изменение базы: откат покрывающего сита вдоль морфизма является покрывающим ситом
- Локальный символ: если покрывающее сито на X и его откат на Y являются покрывающими, то T является покрывающим
- Тождество: Hom(−, X) является покрывающим ситом для любого объекта X
-
Претопологии Гротендика
- Претопологии Гротендика определяются через коллекции карт с общим кодовым доменом
- Аксиомы: существование расслоенных произведений, устойчивость при изменении базиса, локальный символ, изоморфизмы
- Совокупность всех сит, содержащих покрывающее семейство, всегда является топологией Гротендика
-
Топологии и предтопологии
- (PT 3) подразумевает (PT 3′), но не наоборот
- Предтопология создается набором покрывающих семейств, удовлетворяющих (PT 0) – (PT 2) и (PT 3′), но не (PT 3)
- Топология, сгенерированная предтопологией, совпадает с топологией, сгенерированной исходной коллекцией покрывающих семейств
-
Узлы и связки
- Сайт (C, J) определяется как пара категории C и топологии Гротендика J на C
- Предварительный пучок F на сайте (C, J) удовлетворяет условию, что для всех объектов X и покрывающих сит S на X, естественное отображение Hom(Hom(−, X), F) → Hom(S, F) является биекцией
- Разделенный предпучок F удовлетворяет условию, что для всех сит S, естественное отображение Hom(Hom(−, X), F) → Hom(S, F) является инъекцией
- Морфизм предпучков или пучков – это естественное преобразование функторов
- Категория всех пучков на C является топосом, определенным сайтом (C, J)
-
Примеры сайтов
- Дискретная топология: все сита закрывающие, покрывающие сита – только сита вида Hom(−, X)
- Каноническая топология: каждый представимый предварительный пучок является пучком, покрывающие сита строго универсально эпиморфны
- Небольшой сайт, связанный с топологическим пространством: покрывающие сита удовлетворяют условию, что объединение всех множеств V, таких что S (V) непусто, равно U
- Большой сайт, связанный с топологическим пространством: покрывающие семейства – сюръективные семейства открытых погружений
- Большие и малые участки коллектора: топология на O(M) определяется предтопологией, топология на Mfd/M определяется той же предтопологией
-
Топологии в категории схем
- Категория схем Sch обладает множеством полезных топологий
- Топология Зарисского: покрывающие семейства – сюръективные семейства открытых погружений, основанных на теории схем
- Топология étale: покрывающие семейства – сюръективные семейства этальных морфизмов
- Топологии fppf и fpqc: морфизм аффинных схем является покрывающим морфизмом, если он точно плоский, имеет конечное представление и квазикомпактный
- Топология fpqc более точна, чем все упомянутые выше, и близка к канонической топологии
-
Кристаллическая топология
- Включает объекты, обозначаемые бесконечно малыми утолщениями и разделенными энергетическими структурами
- Примеры участков без конечного объекта
-
Непрерывные и смежные функторы
- Непрерывные функторы совместимы с топологией
- Непрерывные функторы индуцируют функторы между топосами
- Смежные функторы определяют сита и морфизмы сайтов
-
Морфизмы сайтов
- Непрерывный функтор u: C → D является морфизмом узлов D → C, если us сохраняет конечные пределы
- Морфизмы сайтов определяются непрерывными функторами, допускающими левое сопряжение
-
Категория волокнистых материалов
- Включает топологию Лоувера–Тирни
- Записи и рекомендации