Уравнение Ван дер Ваальса

Оглавление1 Уравнение Ван-дер-Ваальса1.1 Уравнение Ван-дер-Ваальса1.2 Изменения в законе об идеальном газе1.3 Поверхность идеального газа1.4 Поверхность Ван-дер-Ваальса1.5 Кривая насыщения1.6 История и […]

Оглавление

Уравнение Ван-дер-Ваальса

  • Уравнение Ван-дер-Ваальса

    • Описывает поведение реальных газов  
    • Названо в честь голландского физика Йоханнеса Дидерика ван дер Ваальса  
    • Связывает давление, температуру и молярный объем жидкости  
  • Изменения в законе об идеальном газе

    • Частицы имеют конечный диаметр  
    • Частицы взаимодействуют друг с другом  
  • Поверхность идеального газа

    • Нормализована, черная точка в (1,1,1)  
    • Поверхность ровная, без складок  
  • Поверхность Ван-дер-Ваальса

    • Имеет складку, предсказывает фазовый переход  
    • Складка образуется в критической точке  
  • Кривая насыщения

    • Определяет местоположение фазового перехода  
    • Пересечение состояний насыщенной жидкости и пара  
  • История и признание

    • Ван-дер-Ваальс получил Нобелевскую премию в 1910 году  
    • Уравнение признано важной моделью фазовых переходов  
  • Применение и развитие

    • Адаптировано для бинарных смесей  
    • Расширило прогнозирующие возможности для жидкостей  
  • Поведение уравнения

    • Уравнение связывает давление, температуру и молярный объем  
    • Включает константы a и b, зависящие от вещества  
  • Моделирование и константы

    • Ван-дер-Ваальс использовал модель твердой сферы  
    • Константа b выражает объем исключенного объема  
    • Константа a выражает силу межчастичного притяжения  
  • Современные теории

    • Современная теория дает те же результаты  
    • Включает потенциалы, не представляющие силовые взаимодействия  
    • Константа a зависит от формы потенциальной функции  
  • Уравнения состояния и их свойства

    • Уравнения состояния могут быть записаны с использованием молярного объема, определенного объема или числовой плотности.  
    • Уравнения с молярным объемом содержат R, с определенным объемом — R/m, с числовой плотностью — k.  
  • Уравнение Ван-дер-Ваальса

    • Уравнение Ван-дер-Ваальса используется для прогнозирования температуры кипения, критической точки и других атрибутов.  
    • Уравнение объясняет, почему температура перегретых жидкостей может быть выше точки кипения, а температура переохлажденных паров — ниже точки конденсации.  
  • Изобары и фазовые переходы

    • Изобары показывают различные состояния вещества при разных давлениях.  
    • На красной изобаре жидкость однородна для всех температур, на зеленой — есть область с отрицательным наклоном, где сосуществуют жидкость и пар.  
    • На оранжевой изобаре минимум и максимум равны, на черной изобаре все состояния либо метастабильны, либо нестабильны.  
  • Связь с законом идеального газа

    • Закон идеального газа следует из уравнения Ван-дер-Ваальса при больших значениях v.  
    • Уравнение Ван-дер-Ваальса охватывает как газообразное, так и жидкое состояние.  
  • Полезность уравнения

    • Уравнение имеет простые аналитические выражения для термодинамических свойств и коэффициентов теплового расширения.  
    • Оно объясняет существование критической точки и фазового перехода жидкость-пар.  
    • Уравнение играет важную роль в современной теории фазовых переходов и является ценным педагогическим инструментом.  
  • История кинетической теории газов

    • Клаузиус, Максвелл и Больцман разработали кинетическую теорию газов.  
    • Гиббс усовершенствовал теорию, преобразовав её в статистическую механику.  
  • Вклад ван дер Ваальса

    • Ван дер Ваальс разработал уравнение, описывающее изменение состояния газа и жидкости.  
    • Уравнение основано на предпосылках о частицах с ненулевым объемом и когезионных силах.  
  • Эксперименты Эндрюса

    • Эндрюс продемонстрировал скачок плотности при критической температуре.  
    • Ван дер Ваальс проверил своё уравнение, используя результаты Эндрюса.  
  • Сжижение водорода и гелия

    • Уравнение Ван дер Ваальса помогло в сжижении водорода и гелия.  
    • Уравнение позволило определить критическое давление, температуру и молярный объем.  
  • Критическая точка и соответствующие состояния

    • Уравнение Ван дер Ваальса имеет критические значения для давления, температуры и молярного объема.  
    • В критической точке наклон изотерм равен нулю, что приводит к соответствующим состояниям.  
  • Закон соответствующих состояний

    • Закон соответствующих состояний утверждает, что все жидкости находятся в одном и том же состоянии.  
    • Уравнение связывает уменьшенный объем, пониженное давление и пониженную температуру для всех веществ.  
  • Размерный анализ

    • Уравнение Ван дер Ваальса может быть выражено в терминах безразмерных групп.  
    • Размерный анализ показывает, что уравнение должно иметь вид p/p∗ = Φ(v/v∗, T/T∗).  
  • Современные исследования

    • Современные исследования используют уравнение Ван дер Ваальса и критерий Гиббса для моделирования фазовых переходов.  
    • Уравнение обеспечивает более точную корреляцию свойств.  
  • Уравнение Ван-дер-Ваальса

    • Уравнение Ван-дер-Ваальса описывает поведение жидкостей, но не всех.  
    • Большинство реальных жидкостей не удовлетворяют условию Zc = 3/8.  
    • Уравнение vdW является членом семейства уравнений состояния, основанных на коэффициенте Питцера.  
  • Термодинамические свойства

    • Внутренняя энергия и энтропия определяются уравнениями состояния.  
    • Внутренняя энергия u и энтропия s связаны с механическими уравнениями состояния.  
  • Внутренняя энергия и удельная теплоемкость

    • Внутренняя энергия u определяется энергетическим уравнением состояния.  
    • Удельная теплоемкость cv зависит от температуры и объема.  
  • Энтальпия и энтропия

    • Энтальпия h определяется энтальпийным уравнением состояния.  
    • Энтропия s определяется энтропийным уравнением состояния.  
  • Свободная энергия Гельмгольца и Гиббса

    • Свободная энергия Гельмгольца f определяется как u — Ts.  
    • Свободная энергия Гиббса g определяется как h — Ts.  
  • Термодинамические производные

    • Изотермическая сжимаемость κT и коэффициент теплового расширения α определяются из уравнения vdW.  
    • Удельная теплоемкость при постоянном давлении cp связана с cv уравнением Майера.  
  • Стабильность

    • Принцип экстремума термодинамики требует, чтобы ∂p/∂v|T < 0.  
    • Это условие означает, что средняя часть спинодальной кривой не может иметь физической реальности.  
  • Фазовый переход и спинодальные точки

    • Фазовый переход происходит при достижении критической точки на изотерме.  
    • Спинодальные точки определяют границы между жидкостью, паром и газом.  
    • Спинодальная кривая разделяет области существования различных фаз.  
  • Насыщение и свободная энергия Гиббса

    • Насыщение происходит при температуре Ts и давлении pmin < ps < pmax.  
    • Свободная энергия Гиббса gf = gg определяет условия материального равновесия.  
    • Интегрирование уравнения для свободной энергии Гиббса дает уравнение для ps.  
  • Аналитическое решение и кривая сосуществования

    • Лекнер получил аналитическое решение для Trs, prs, vrf и vrg.  
    • Кривая сосуществования пересекает состояния насыщенной жидкости и пара.  
    • Изотермы для Tr < 1 прерывисты, включая метастабильные состояния.  
  • Метастабильные состояния и отрицательные давления

    • Метастабильные состояния, такие как перегретая жидкость и переохлажденный пар, возникают при фазовом переходе.  
    • Больцман и другие ученые исследовали их тепловые свойства и отрицательные давления.  
    • Уравнение Ван-дер-Ваальса предсказывает существование жидких состояний с растягивающими напряжениями.  
  • Физический разрыв и уравнение состояния

    • Жидкость испаряется, превращаясь в гетерогенную смесь жидкости и пара.  
    • Молярный объем смеси непрерывно изменяется от vf к vg.  
    • Уравнение состояния описывает это изменение.  
  • Расширенные соответствующие состояния

    • Ван-дер-Ваальс предложил безразмерное уравнение состояния.  
    • Больцман отметил, что это уравнение не описывает все вещества.  
    • Расширенный принцип соответствующих состояний учитывает критический фактор сжимаемости.  
  • Давление насыщения и коэффициент Питцера

    • Давление насыщения представлено семейством кривых.  
    • Коэффициент Питцера, ω, используется для описания поведения веществ.  
    • Уравнение Донга и Линхарда описывает давление насыщения для различных веществ.  
  • Джоуль-Томсон коэффициент

    • Коэффициент Джоуля-Томсона определяет, нагреваются или охлаждаются газы.  
    • Условие μJ = 0 определяет кривую инверсии.  
    • Кривая инверсии описывает охлаждение газов при определенных условиях.  
  • Коэффициент сжимаемости

    • Реальные газы характеризуются коэффициентом сжимаемости Z.  
    • Для жидкости ван-дер-Ваальса Z = 1/(1-bρ) — aρ/(RT).  
    • В критическом состоянии Z = 3/8.  
    • Производная ∂ρZ|T никогда не отрицательна при определенных условиях.  
  • Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса

    • Уравнение состояния описывает поведение жидкости как функции температуры и давления.  
    • Включает параметры b и a, которые описывают взаимодействие молекул.  
    • Уравнение имеет вид p = RT(v — b — a/v^2).  
  • Вириальное разложение

    • Вириальное разложение описывает поведение жидкости как степенной ряд.  
    • Включает вириальные коэффициенты, описывающие взаимодействие частиц.  
    • Для vdW-жидкости вириальное разложение имеет вид Z(ρ, T) = 1 + [1 — a/(bRT)]bρ + ∑k=3∞Bk(T)(bρ)k-1.  
  • Смеси жидкостей

    • Ван-дер-Ваальс предложил модель для описания смесей жидкостей.  
    • Модель включает параметры a и b, описывающие взаимодействие молекул.  
    • Модель предсказывает, что давление смеси не равно сумме давлений компонентов.  
  • Принцип минимума потенциала Гельмгольца

    • Принцип минимума потенциала Гельмгольца устанавливает условия стабильности системы.  
    • Условие стабильности: ∂2f/∂v2|T = −∂p/∂v|T > 0.  
    • Функция f(v, T) является выпуклой при всех устойчивых состояниях.  
  • Сосуществование фаз

    • Для подкритических температур функция f(T, v) не является выпуклой.  
    • При p = ps(T) и подходящем значении g линия проходит по касательной к f(T, v) при молярном объеме каждой фазы.  
    • Каждая точка характеризуется одинаковым значением g, p и T.  
  • Жидкость и пар

    • Жидкость обозначается левым зеленым кружком  
    • Кривизна уменьшается с увеличением v  
    • Спинодальные точки определяют метастабильные области  
    • Пар обозначается правым зеленым кружком  
  • Уравнение vdW

    • Молярный потенциал Гельмгольца для жидкости vdW  
    • Уравнение vdW для докритической изотермы  
    • Двойная касательная линия определяет стабильные состояния  
  • Бинарная смесь

    • Потенциал Гельмгольца для бинарной смеси  
    • Условия стабильности для бинарной смеси  
    • Уравнение Эйлера для бинарной смеси  
  • Правила смешивания

    • Эмпирические правила комбинирования для констант vdW  
    • Квадратичные правила смешивания для материальных констант  
    • Правило Кей для определения констант vdW  
  • История и применение уравнения Ван-дер-Ваальса

    • Ван-дер-Ваальс предложил уравнение для описания термодинамических свойств смесей.  
    • Лиланд применил его к молекулярным параметрам, связанным с критическими константами.  
    • Уравнение хорошо согласуется с компьютерным моделированием в диапазоне 1/2 < (σ11/σ22)3 < 2.  
  • Математическая и эмпирическая достоверность

    • Математически строгого вывода уравнения не существует.  
    • Уравнение основано на эмпирическом поведении, а не на теоретической основе.  
  • Классическая статистическая функция

    • Классическая статистическая функция описывает термодинамические свойства системы частиц.  
    • Уравнение Ван-дер-Ваальса не может быть получено из статистической суммы без дополнительных ограничений.  
  • Критика и ограничения

    • Уравнение не описывает все состояния, включая нестабильные.  
    • Постоянная b в уравнении не может описывать как газообразное, так и жидкое состояния.  
  • Одномерные модели

    • Кортевег и Рэлей показали, что одномерные системы удовлетворяют уравнению Ван-дер-Ваальса.  
    • Кац и его коллеги расширили модель, включив парный потенциал.  
  • Предел Ван-дер-Ваальса

    • Кац и его коллеги обнаружили предел, в котором парный потенциал становится бесконечно большим и слабым.  
    • В этом пределе получено одномерное уравнение Ван-дер-Ваальса.  
  • Вывод уравнения vdW

    • Уравнение vdW выводится из статистической суммы и критерия Гиббса.  
    • Уравнение обобщает уравнение vdW для бесконечно слабых сил притяжения.  
    • Давление p0, возникающее в результате прямых столкновений частиц, заменяет RT/(v-b).  
  • Вириальное уравнение состояния

    • Вириальное уравнение состояния выводится из статистической суммы.  
    • Уравнение связывает давление с плотностью частиц и температурой.  
    • Вириальное уравнение состояния является двухчленной аппроксимацией.  
  • Предел ван-дер-Ваальса

    • Предел ван-дер-Ваальса является обобщением уравнения vdW.  
    • Предел включает в себя критерий Гиббса и учитывает бесконечно слабые силы притяжения.  
    • Предел не может быть строго выведен из интеграла конфигурации.  
  • Критика уравнения vdW

    • Уравнение vdW не может быть строго выведено из интеграла конфигурации во всем диапазоне v.  
    • Уравнение vdW эквивалентно двухчленной аппроксимации вириального уравнения.  
    • Вириальное уравнение состояния может быть строго выведено из статистической суммы в дополнительном пределе.  
  • Приближение Ван-дер-Ваальса

    • f(r) может быть выражено как f(r) = {-1, r < σ, -τφ¯(r) + O[(τ2], r > σ}  
    • φ¯ = φ/ε имеет минимальное значение -1  
    • B2(T) = 2πσ3/3 + 2πσ3τ∫1∞φ¯(x)x2dx + O(τ2) ∼ bN — aN/kT  
    • bN = 2πσ3/3, aN = εbN I, где I = -3∫1∞φ¯(x)x2dx  
    • I должно быть конечным для интегрируемости φ¯  
  • Универсальность B2(τ)

    • B2(τ) / σ3 зависит от безразмерной молекулярной температуры τ  
    • Это пример принципа соответствующих состояний на молекулярном уровне  
  • Приближение Ван-дер-Ваальса в терминах молярных величин

    • Z = 1 + [bN — aN/kT + O(τ2)]ρN + O(ρN2bN2) ∼ 1 + (1-a/bRT)ρb + O(ρ2b2) + O(τ2ρb)  
    • Разложение Тейлора по (1-ρb)−1 дает Z = p/ρRT = (1-ρb)−1 — aρ/RT + O(ρ2b2) + O(τ2ρb)  
  • Эквивалентность уравнения vdW

    • Уравнение vdW эквивалентно двучленной аппроксимации вириального уравнения в области τ, ρb → 0  
    • Уравнение точно в области v ≫ b, T ≫ ε/k, что соответствует разреженному газу  
  • Различия в поведении

    • При увеличении плотности поведение приближения vdW и вириального разложения различаются  
    • Приближение vdW указывает на фазовый переход и метастабильные состояния  
  • Эмпирическая обоснованность

    • Уравнение vdW эмпирически обосновано для многих систем с потенциалом притяжения  
    • Модель эффективна при температурах ниже критической и применима к смесям  
  • Применение инженерами

    • Инженеры модифицировали уравнение для управления жидкостями и газами  
    • Больцман отметил, что уравнение vdW является ценным инструментом для управления системами  

Полный текст статьи:

Уравнение Ван дер Ваальса

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх