Оглавление
- 1 Внешний бильярд
- 1.1 Определение внешнего бильярда
- 1.2 Внешняя бильярдная карта
- 1.3 Орбиты
- 1.4 Многомерные пространства
- 1.5 История
- 1.6 Ограниченные орбиты в евклидовой плоскости
- 1.7 Неограниченные орбиты в евклидовой плоскости
- 1.8 Неограниченные орбиты в гиперболической плоскости
- 1.9 Существование периодических орбит
- 1.10 Открытые вопросы
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Внешний бильярд
Внешний бильярд
-
Определение внешнего бильярда
- Внешний бильярд — динамическая система, основанная на выпуклой форме на плоскости.
- Система определена для евклидовой плоскости, но может быть рассмотрена в гиперболической плоскости или других пространствах.
- Отличается от обычного бильярда тем, что имеет дело с дискретной последовательностью ходов вне фигуры.
-
Внешняя бильярдная карта
- Внешняя бильярдная карта — это карта, соединяющая точки за пределами фигуры так, чтобы отрезок касался фигуры в средней точке.
- Обратная карта определяется аналогично.
-
Орбиты
- Внешняя биллиардная орбита — это совокупность итераций внешней бильярдной карты.
- Орбиты могут быть периодическими, апериодическими, ограниченными или неограниченными.
-
Многомерные пространства
- Определение внешней бильярдной системы в многомерном пространстве выходит за рамки статьи.
- В сложном векторном пространстве можно использовать касательные линии для определения внешней бильярдной карты.
-
История
- Внешний бильярд приписывают Бернхарду Нейману и Юргену Мозеру.
- Мозер популяризировал систему в 1970-х годах.
- Вопрос Мозера-Неймана о неограниченных орбитах стал основной проблемой в этой области.
-
Ограниченные орбиты в евклидовой плоскости
- В 70-х годах Мозер доказал ограниченность орбит для 6-кратно дифференцируемых форм положительной кривизны.
- В 1982 году Дуади подтвердил этот результат.
- В 90-х годах три группы авторов показали ограниченность орбит для квазирациональных многоугольников.
- В 2005 году Генин доказал ограниченность орбит для трапеций.
-
Неограниченные орбиты в евклидовой плоскости
- В 2007 году Шварц показал, что внешний бильярд имеет неограниченные орбиты для воздушного змея Пенроуза.
- В 2008 году Долгопят и Файяд показали, что внешний бильярд для полудиска имеет неограниченные орбиты.
-
Неограниченные орбиты в гиперболической плоскости
- В 2003 году Дору и Табачников показали, что все орбиты неограниченны для больших выпуклых многоугольников.
- В 2011 году Дору и Оттен расширили эту работу для правильных многоугольников.
-
Существование периодических орбит
- В обычном полигональном бильярде существование периодических орбит — главная нерешенная проблема.
- В внешнем бильярде все орбиты периодические для выпуклых рациональных многоугольников.
- Калтер и Табачников доказали, что внешняя бильярдная система относительно любого выпуклого многоугольника имеет периодические орбиты.
-
Открытые вопросы
- Покажите, что внешние биллиарды относительно почти каждого выпуклого многоугольника имеют неограниченные орбиты.
- Покажите, что внешний биллиард относительно правильного многоугольника имеет почти каждую периодическую орбиту.
- Охарактеризуйте структуру набора периодических орбит относительно типичного выпуклого многоугольника.
- Поймите структуру периодических орбит относительно простых фигур в гиперболической плоскости.