Оглавление
- 1 Выпуклая функция
- 1.1 Определение выпуклых функций
- 1.2 Свойства выпуклых функций
- 1.3 Неравенство Йенсена
- 1.4 Определение выпуклости
- 1.5 Альтернативные наименования
- 1.6 Свойства выпуклых функций одной переменной
- 1.7 Определение выпуклой функции
- 1.8 Свойства выпуклых функций
- 1.9 Функции нескольких переменных
- 1.10 Дифференцируемые функции
- 1.11 Операции, сохраняющие выпуклость
- 1.12 Минимизация и перспективы
- 1.13 Сильно выпуклые функции
- 1.14 Определение сильно выпуклых функций
- 1.15 Свойства сильно выпуклых функций
- 1.16 Равномерно выпуклые функции
- 1.17 Примеры функций
- 1.18 Функции от n переменных
- 1.19 Полный текст статьи:
- 2 Выпуклая функция — Arc.Ask3.Ru
Выпуклая функция
-
Определение выпуклых функций
- Функция называется выпуклой, если отрезок прямой между любыми двумя точками на её графике лежит выше или на графике.
- Функция является выпуклой, если её эпиграф является выпуклым множеством.
- График выпуклой функции имеет форму чашки, а график вогнутой функции — форму колпачка.
-
Свойства выпуклых функций
- Дважды дифференцируемая функция одной переменной является выпуклой, если её вторая производная неотрицательна.
- Примеры выпуклых функций: линейная, квадратичная и экспоненциальная функции.
- Выпуклые функции важны в задачах оптимизации и вариационном исчислении.
-
Неравенство Йенсена
- Выпуклая функция, применённая к ожидаемому значению случайной величины, ограничена сверху ожидаемым значением выпуклой функции случайной величины.
- Это неравенство используется для вывода неравенств среднего арифметического и геометрического значения и неравенства Гельдера.
-
Определение выпуклости
- Функция f называется выпуклой, если для всех 0 ≤ t ≤ 1 и всех x1, x2 ∈ X: f(tx1 + (1 − t) x2) ≤ tf(x1) + (1 − t) f(x2).
- Функция f называется строго выпуклой, если для всех 0 < t < 1 и всех x1, x2 ∈ X, x1 ≠ x2: f(tx1 + (1 − t) x2) < tf(x1) + (1 − t) f(x2).
-
Альтернативные наименования
- Термин «выпуклый» часто обозначается как «выпуклый вниз» или «вогнутый вверх».
- Термин «вогнутый» часто обозначается как «вогнутый вниз» или «выпуклый вверх».
-
Свойства выпуклых функций одной переменной
- Выпуклая функция одной переменной непрерывна на открытом интервале.
- Выпуклая функция допускает левую и правую производные, которые монотонно не уменьшаются.
- Выпуклая функция дифференцируема во всех точках, кроме, возможно, конечного числа.
- Дифференцируемая функция одной переменной является выпуклой на интервале, если её производная монотонно не уменьшается на этом интервале.
-
Определение выпуклой функции
- Функция дифференцируема и выпукла, если её график лежит выше всех касательных.
- Функция выпукла на интервале, если её график лежит выше всех касательных.
-
Свойства выпуклых функций
- Выпуклая функция супераддитивна по отношению к положительным числам.
- Функция является средней точкой выпуклой, если её график лежит выше всех касательных в середине интервала.
-
Функции нескольких переменных
- Функция, выпуклая по каждой переменной, не обязательно выпуклая совместно.
- Функция, выраженная в расширенных действительных числах, выпукла, если её эпиграф является выпуклым множеством.
-
Дифференцируемые функции
- Дифференцируемая функция выпукла, если её график лежит выше всех касательных.
- Дважды дифференцируемая функция выпукла на выпуклом множестве, если её матрица Гесса положительно полуопределена.
-
Операции, сохраняющие выпуклость
- Сумма двух выпуклых функций является выпуклой.
- Максимум выпуклых функций является выпуклым.
- Теорема Данскина: если функция выпукла в одной переменной, то её отхлебывание выпукло.
-
Минимизация и перспективы
- Минимизация выпуклой функции является выпуклой.
- Перспектива выпуклой функции является выпуклой.
-
Сильно выпуклые функции
- Сильно выпуклая функция растёт так же быстро, как квадратичная.
- Сильно выпуклая функция строго выпукла, но не наоборот.
- Сильно выпуклая функция удовлетворяет определённому неравенству.
-
Определение сильно выпуклых функций
- Сильно выпуклая функция удовлетворяет неравенству f(y) ≥ f(x) + ∇f(x)T(y − x) + m/2‖y − x‖2.
- Функция может быть сильно выпуклой, даже если она не дифференцируема.
- Сильно выпуклая функция с параметром m удовлетворяет неравенству f(tx + (1 − t)y) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y) − m/2t(1 − t)‖x − y‖2.
-
Свойства сильно выпуклых функций
- Сильно выпуклые функции имеют уникальные минимумы на компактных множествах.
- Для каждого действительного числа r набор уровней {x | f(x) ≤ r} является компактным.
-
Равномерно выпуклые функции
- Равномерно выпуклая функция удовлетворяет неравенству f(tx + (1 − t)y) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y) − t(1 − t)ϕ(‖x − y‖), где ϕ — неотрицательная функция, обращающаяся в нуль только при 0.
-
Примеры функций
- Функция f(x) = x2 является сильно выпуклой и строго выпуклой.
- Функция f(x) = x4 является выпуклой, но не сильно выпуклой.
- Функция f(x) = |x| является выпуклой, но не строго выпуклой.
- Экспоненциальная функция f(x) = e^x является выпуклой, но не сильно выпуклой.
- Функция f с доменом [0,1] является выпуклой, но не непрерывной при 0 и 1.
- Функция x3 является выпуклой на множестве, где x ≥ 0, и вогнутой на множестве, где x ≤ 0.
- Функция f(x) = 1/x является выпуклой на отрезке (0, ∞), но вогнутой на отрезке (-∞, 0).
- Функция f(x) = 1/x2 является выпуклой на интервале (0, ∞) и выпуклой на интервале (-∞, 0), но не выпуклой на интервале (-∞, ∞).
-
Функции от n переменных
- Функция LogSumExp является выпуклой.
- Функция −log det(X) в области положительно определенных матриц является выпуклой.
- Каждое вещественнозначное линейное преобразование является выпуклым, но не строго выпуклым.
- Каждая вещественнозначная аффинная функция является одновременно выпуклой и вогнутой.
- Каждая норма является выпуклой функцией.
- Спектральный радиус неотрицательной матрицы является выпуклой функцией её диагональных элементов.