Алгебра Вирасоро
-
Алгебра Вирасоро
- Сложная алгебра Ли и центральное расширение алгебры Витта
- Используется в двумерной конформной теории поля и теории струн
- Состоит из образующих Ln и центрального заряда c
-
Структура алгебры Вирасоро
- Генераторы Ln удовлетворяют определенным соотношениям
- Фактор 1/12 является условностью
- Вывод алгебры как центрального расширения алгебры Витта
-
Теория представлений
- Центральный генератор c принимает постоянное значение в неразложимых представлениях
- Вектор v имеет конформную размерность h, если является собственным вектором L0
- Первичное состояние v имеет конформный размер h и уничтожается режимами уничтожения
-
Модули Verma
- Модуль Verma Vc,h является представлением с наивысшим весом и конформным размером h
- Неприводим и имеет сингулярные векторы при определенных значениях h и c
- Сингулярные векторы имеют уровень rs и конформный размер hr,s(c)
-
Форма Шаповалова
- Определяет автоморфизм алгебры Вирасоро и ее универсальной обертывающей алгебры
- Симметричная билинейная форма модуля Verma Vc,h
- Обратная форма Шаповалова связана с вычислением конформных блоков Вирасоро
-
Эрмитова форма и унитарность
- Представление с наивысшим весом имеет уникальную эрмитову форму
- Представление называется унитарным, если эрмитова форма положительно определена
- Неприводимое представление с наивысшим весом унитарно при определенных значениях c и h
-
Персонажи
- Характер представления R из алгебры Вирасоро является функцией
- Характер модуля Verma Vc,h является функцией Дедекинда eta
-
Приводимость и сингулярные векторы
- Модуль Verma Vc,hr,s является приводимым благодаря сингулярному вектору на уровне rs.
- Сингулярный вектор генерирует подмодуль, изоморфный модулю Verma Vc,hr,s+rs.
- Частное от Vc,hr,s по этому подмодулю является неприводимым, если Vc,hr,s не имеет других сингулярных векторов.
-
Характеристики и приложения
- Модуль Verma Vc,hr,s имеет бесконечно много сингулярных векторов и может быть сведен к бесконечному числу подмодулей.
- Характер неприводимого частного представляет собой бесконечную сумму.
- В конформной теории поля алгебра локальных конформных преобразований состоит из двух копий алгебры Витта, что приводит к алгебре Вирасоро.
- В теории струн тензор напряжений подчиняется коммутационным соотношениям алгебры Вирасоро.
-
Обобщения и расширения
- Существуют суперсимметричные расширения алгебры Вирасоро, такие как алгебра Неве–Шварца и алгебра Рамона.
- W-алгебры содержат алгебру Вирасоро и играют важную роль в двумерной конформной теории поля.
- Алгебра Вирасоро является подалгеброй универсальной обертывающей алгебры аффинной алгебры Ли.
- Алгебра Вирасоро является центральным расширением алгебры Ли мероморфных векторных полей на римановых поверхностях.
-
История и открытия
- Алгебра Витта была открыта Э. Картан в 1909 году.
- Центральное расширение алгебры Витта было найдено Р. E. Block в 1966 году и независимо переоткрыто И. M. Гельфандом и Дмитрием Фуксом в 1969 году.
- Физик Мигель Анхель Вирасоро записал операторы, порождающие алгебру Вирасоро, в 1970 году.
- Центральное расширение, дающее алгебру Вирасоро, было вновь открыто Дж. H. Вайсом в 1971 году.