Оглавление
- 1 Кольцо многочленов
- 1.1 Определение кольца многочленов
- 1.2 Свойства колец многочленов
- 1.3 Полиномиальные функции и гомоморфизмы
- 1.4 Одномерные многочлены над полем
- 1.5 Взаимно простое число и доказательство
- 1.6 Уникальное свойство факторизации
- 1.7 Производная многочлена
- 1.8 Бесквадратная факторизация и интерполяция Лагранжа
- 1.9 Минимальный многочлен
- 1.10 Частное кольцо
- 1.11 Модули
- 1.12 Определение многомерного случая
- 1.13 Многоступенчатые векторы и степень мономиала
- 1.14 Многочлены и их свойства
- 1.15 Операции в K[X1, …, Xn]
- 1.16 Полиномиальные выражения и их свойства
- 1.17 Категориальная характеристика
- 1.18 Ступенчатая структура многочленов
- 1.19 Свойства, передающиеся от R к R[X]
- 1.20 Несколько неопределенностей в поле
- 1.21 Нулевой штеллензатц Гильберта
- 1.22 Общие нули в алгебраически замкнутых полях
- 1.23 Теорема Безу
- 1.24 Обобщения колец полиномов
- 1.25 Полный текст статьи:
- 2 Полиномиальное кольцо – Arc.Ask3.Ru
Кольцо многочленов
-
Определение кольца многочленов
- Кольцо многочленов K[X] состоит из многочленов от одной переменной X с коэффициентами в кольце K.
- Многочлены определяются как выражения вида p0 + p1X + … + pmXm, где p0, p1, …, pm ∈ K, а Xk = Xk-1 для k ≥ 1.
- Кольцо многочленов снабжено сложением, умножением и скалярным умножением, которые делают его коммутативной алгеброй.
-
Свойства колец многочленов
- Кольца многочленов обладают многими свойствами, аналогичными кольцу целых чисел Z.
- Евклидово деление многочленов обладает свойством единственности, что делает K[X] евклидовой областью.
- Наибольший общий делитель двух многочленов является моническим и имеет максимальную степень.
-
Полиномиальные функции и гомоморфизмы
- Полиномиальная функция определяется многочленом P как функция от K до K, где P(x) = P(x).
- Полиномиальные функции определяют алгебраические гомоморфизмы от K[X] до других колец.
- Изображение гомоморфизма P → P(a) обозначается K[a].
-
Одномерные многочлены над полем
- Если K – поле, то K[X] обладает многими свойствами, аналогичными Z.
- Евклидово деление многочленов обладает свойством единственности и является основой евклидова алгоритма.
-
Взаимно простое число и доказательство
- Взаимно простое число означает, что наибольший общий делитель равен 1.
- Доказательство основано на гипотезе и тождестве Безу.
-
Уникальное свойство факторизации
- Каждый непостоянный многочлен может быть выражен как произведение константы и неприводимых монических многочленов.
- В случае комплексных чисел, неприводимые множители имеют первую степень.
-
Производная многочлена
- Производная многочлена является многочленом.
- Производная превращает кольцо многочленов в дифференциальную алгебру.
-
Бесквадратная факторизация и интерполяция Лагранжа
- Факторизация многочленов над комплексными числами не имеет полиномиального алгоритма.
- В случае действительных чисел, существуют неприводимые многочлены степени 2.
-
Минимальный многочлен
- Минимальный многочлен элемента θ является моническим многочленом минимальной степени, имеющим θ в качестве корня.
- В теории поля и теории чисел, минимальный многочлен неприводим к K.
-
Частное кольцо
- Факторкольцо K[X] по идеалу может быть отождествлено с векторным пространством многочленов степеней, меньших d.
- Кольцо K[X]/(p) является полем тогда и только тогда, когда p неприводимо.
-
Модули
- Структурная теорема для конечно порожденных модулей над K[X] применима, когда K – поле.
- Каждый конечно порожденный модуль может быть разложен на прямую сумму свободного модуля и модулей вида K[X]/⟨Pk⟩.
-
Определение многомерного случая
- Мономиал является формальным произведением неопределенностей, возможно, возведенным в неотрицательную степень.
-
Многоступенчатые векторы и степень мономиала
- Набор показателей α = (α1, …, an) называется многоступенчатым вектором.
- Степень мономиала Xa равна сумме его показателей.
-
Многочлены и их свойства
- Многочлен в K[X1, …, Xn] — это конечная линейная комбинация одночленов с коэффициентами в K.
- Степень ненулевого многочлена — это максимальная из степеней его одночленов с ненулевыми коэффициентами.
- K[X1, …, Xn] — это векторное пространство или свободный модуль, основанный на одночленах.
-
Операции в K[X1, …, Xn]
- Сложение и скалярное умножение многочленов определяются через базис одночленов.
- Умножение многочленов определяется через сумму векторов экспонент.
-
Полиномиальные выражения и их свойства
- Полиномиальное выражение — это выражение из скаляров, неопределенных чисел и операторов сложения, умножения и возведения в степень.
- Полиномиальное выражение представляет собой многочлен в K[X1, …, Xn].
-
Категориальная характеристика
- K[X1, …, Xn] обладает универсальным свойством: для каждой коммутативной K-алгебры A существует уникальный гомоморфизм из K[X1, …, Xn] в A.
- Это свойство можно интерпретировать через сопряженные функторы.
-
Ступенчатая структура многочленов
- Многочлен в K[X1, …, Xn] можно рассматривать как одномерный многочлен над K[X1, …, Xn-1].
- Это используется для доказательства свойств многомерных полиномиальных колец.
-
Свойства, передающиеся от R к R[X]
- K[X1, …, Xn] и Z[X1, …, Xn] являются интегральными доменами и уникальными доменами факторизации.
- Они являются нетеровыми кольцами и имеют размерность n.
-
Несколько неопределенностей в поле
- Кольца многочленов от нескольких переменных над полем важны в теории инвариантов и алгебраической геометрии.
- Нулевой штеллензатц Гильберта устанавливает связь между алгебраическими и геометрическими свойствами многочленов.
-
Нулевой штеллензатц Гильберта
- Nullstellensatz обобщает теорему о нулевом местоположении для многомерных многочленов.
- Существуют три основные версии Nullstellensatz, каждая из которых является следствием другой.
-
Общие нули в алгебраически замкнутых полях
- Общий нуль в алгебраически замкнутом поле K существует тогда и только тогда, когда 1 не принадлежит идеалу, порожденному S.
- Неприводимые одномерные многочлены ассоциируются с многочленом вида X-α.
-
Теорема Безу
- Теорема Безу утверждает, что многочлены степеней d и e от двух переменных имеют ровно два общих нуля в алгебраически замкнутом поле.
- В общем случае, теорема утверждает, что сумма кратностей общих нулей равна произведению степеней многочленов.
-
Обобщения колец полиномов
- Кольца полиномов могут быть обобщены на бесконечно много переменных, обобщенные показатели, степенные ряды, некоммутативные кольца полиномов, косые полиномы и полиномиальные установки.
- Кольца полиномов с бесконечно многими переменными допускают бесконечно много неопределенностей, но каждый многочлен содержит только конечное число неопределенностей.
- Обобщенные показатели изменяют набор, из которого извлекаются показатели для переменной, что приводит к моноидным кольцам.
- Степенные ряды обобщают выбор показателя степени, допуская бесконечно много ненулевых членов.
- Некоммутативные кольца полиномов сохраняют различие между формальными произведениями X∈Y и Y∈X.
- Дифференциальные и косополиномиальные кольца включают дифференциальные операторы и косое умножение.
- Полиномиальные установки обобщают определение кольца полиномов на полуполя и кольцевые установки.