Теорема Зайферта–Ван Кампена
-
Теорема Ван Кампена для фундаментальных групп
- Выражает структуру фундаментальной группы топологического пространства через фундаментальные группы двух открытых подпространств.
- Используется для вычислений фундаментальной группы пространств, построенных из более простых.
-
Теорема Ван Кампена для фундаментальных группоидов
- Не вычисляет фундаментальную группу окружности, так как окружность не может быть реализована как объединение двух открытых множеств.
- Решается с помощью фундаментального группоида π1(X, A) на множестве базовых точек.
- Группоид π1(X, A) изоморфен группоиду I с двумя вершинами и одним морфизмом между ними.
-
Эквивалентные формулировки
- На языке комбинаторной теории групп: π1(X, w) является свободным произведением π1(U, w) и π1(V, w).
- В теории категорий: π1(X, w) является основным элементом диаграммы в категории групп.
-
Примеры
- Сфера S2: фундаментальная группа тривиальна.
- Клиновидная сумма пробелов: фундаментальная группа является свободным произведением фундаментальных групп исходных пространств.
- Ориентируемые поверхности типа g: фундаментальная группа изоморфна свободной группе с 2n образующими.
-
Простая связанность
- Если X можно записать как объединение двух открытых односвязных множеств U и V, то X является односвязным.
-
Обобщения
- Рональд Браун распространил теорему на несвязанный случай с использованием фундаментального группоида π1(X, A).
-
Теорема для произвольных покрытий
- Теорема приведена в статье Брауна и Салеха.
- Версия с более чем двумя перекрывающимися множествами приведена в книге Хэтчера.
-
Приложения фундаментального группоида
- Приложения к теореме о кривой Жордана и покрывающим пространствам.
- В пространствах орбит удобно использовать A для включения всех фиксированных точек действия.
-
Многомерные версии теоремы
- Ссылки на многомерные версии приведены в статье о многомерных теориях групп и группоидах.
- Двумерная теорема Ван Кампена вычисляет неабелевы вторые относительные гомотопические группы.
-
Алгебраическая геометрия и теорема Ван Кампена
- Фундаментальные группы встречаются в алгебраической геометрии.
- Версия теоремы Ван Кампена доказывается с помощью теории спуска.
-
Дополнительные материалы
- Многомерная алгебра и теория высших категорий.
- Последовательность Майера–Виеториса и псевдокружность.
- Записи и рекомендации по литературе.