Теорема Лефшеца о неподвижной точке
-
Теорема Лефшеца о неподвижной точке
- Формула для подсчета неподвижных точек непрерывного отображения из компактного топологического пространства в себя.
- Названа в честь Соломона Лефшеца, впервые заявившего об этом в 1926 году.
- Использует условную кратность в фиксированной точке, называемую индексом с фиксированной точкой.
-
Формальная формулировка
- Пусть f — непрерывная карта из компактного триангулируемого пространства X в себя.
- Число Лефшеца Λf определяется как переменная сумма матричных следов линейных отображений, индуцированных f на группах гомологий Hk(X, Q).
- Если Λf не равно нулю, то f имеет по крайней мере одну фиксированную точку.
-
Доказательство
- Если f не имеет фиксированных точек, то оно гомотопично симплициальному отображению без фиксированной точки.
- Число Лефшеца может быть вычислено с использованием переменной суммы матричных следов линейных отображений.
-
Теорема Лефшеца–Хопфа
- Если f имеет только конечное число неподвижных точек, то Λf = Fix(f) + ∑ind(f, x).
- Из этой теоремы выводится теорема Пуанкаре–Хопфа для векторных полей.
-
Связь с характеристикой Эйлера
- Число Лефшеца тождественного отображения на конечном CW-комплексе равно характеристике Эйлера χ(X).
-
Связь с теоремой Брауэра о неподвижной точке
- Теорема Лефшеца обобщает теорему Брауэра о неподвижной точке для замкнутых единичных дисков.
-
Исторический контекст
- Лефшец представил свою теорему в 1926 году, сосредоточившись на точках совпадения на картах.
-
Фробениус
- Эндоморфизм Фробениуса Fq отображает точку с координатами x1, …, xn в точку с координатами x1q, …, xnq.
- Формула трассировки Лефшеца справедлива в контексте Фробениуса и включает след Фробениуса на высотных когомологиях.
- Формула может быть переписана в терминах арифметики Фробениуса Φq для гладких и равноразмерных пространств.
- Формула также обобщается на алгебраические стеки над конечными полями.