Треугольное число
-
Определение и свойства треугольных чисел
- Треугольные числа подсчитывают объекты в равностороннем треугольнике.
- n-е треугольное число равно сумме натуральных чисел от 1 до n.
- Формула: Tn = n(n+1)/2.
-
История и происхождение
- Карл Фридрих Гаусс обнаружил формулу в юности.
- Формула также известна как «терминальная функция» в книге Дональда Кнута.
- Дикуил описал формулу в 816 году.
-
Отношения с другими фигуральными числами
- Сумма двух последовательных треугольных чисел равна квадратному числу.
- Удвоение треугольного числа называется проническим числом.
- Квадрат n-го треугольного числа равен сумме кубов целых чисел от 1 до n.
-
Другие свойства
- Сумма первых n треугольных чисел равна n-му тетраэдрическому числу.
- Разница между n-м m-угольным числом и n-м (m+1)-угольным числом равна (n-1)-му треугольному числу.
- Положительная разность двух треугольных чисел называется трапециевидным числом.
-
Обобщение и обобщения
- Формула для суммы n-го треугольного числа может быть обобщена на другие многоугольные числа.
- Треугольные числа соответствуют случаю первой степени формулы Фаульхабера.
- Чередующиеся треугольные числа также являются шестиугольными числами.
- Каждое четное совершенное число является треугольным.
-
Цифровые свойства
- Последняя цифра треугольного числа равна 0, 1, 3, 5, 6, или 8.
- Цифровой корень ненулевого треугольного числа всегда равен 1, 3, 6 или 9.
- Каждое треугольное число либо делится на три, либо имеет остаток 1 при делении на 9.
-
Свойства треугольных чисел
- Треугольные числа всегда нечетные квадраты, получаемые умножением треугольного числа на 8 и добавлением 1.
- Сумма обратных значений всех ненулевых треугольных чисел равна 2.
- Треугольные числа можно представить как сумму трех треугольных чисел.
-
Формулы и теоремы
- Tn + Tm = Tn + Tm + ab.
- Tab = Tatb + Tat-1Tb-1.
- Гаусс доказал, что каждое натуральное число можно представить как сумму трех треугольных чисел.
- Наибольшее треугольное число вида 2k − 1 равно 4095.
-
Приложения
- Полностью подключенная сеть из n устройств требует Tn − 1 кабелей.
- В групповом этапе турнира количество матчей равно Tn − 1.
- Метод суммы цифр за годы используется для расчета амортизации активов.
-
Треугольные корни и тесты
- Треугольный корень из x равен n = (8x + 1) − 1/2.
- Целое число x является треугольным тогда и только тогда, когда 8x + 1 является квадратом.
-
Альтернативное название и обозначения
- Альтернативное название «терминальный» предложено Дональдом Кнутом.
- Обозначение n? для n-го треугольного числа не получило широкого распространения.