Способ наикрутейшего спуска
-
Метод наискорейшего спуска
- Метод аппроксимации комплексного интеграла
- Деформация контура интегрирования для прохождения вблизи седловой точки
- Используется для интегралов в комплексной плоскости
-
История и этимология
- Метод впервые опубликован Дебаем в 1909 году
- Встречается в неопубликованной заметке Римана 1863 года
- Сигел описал метод в 1932 году
-
Основная идея
- Метод деформирует контур интегрирования для прохождения через седловую точку
- Мнимая часть функции g(z) постоянна на новом контуре
- Интеграл можно аппроксимировать другими методами
-
Простая оценка
- Метод применим для функций f и S, удовлетворяющих определенным условиям
- Оценка интеграла при λ → ∞
-
Доказательство простой оценки
- Случай единственной невырожденной седловой точки
- Использование леммы Морса для построения асимптотики
-
Асимптотическое разложение
- Деформация контура интегрирования
- Использование леммы Морса для изменения переменных интегрирования
- Асимптотика интеграла при λ → ∞
-
Условие совпадения r.h.s. и л.х.с.
- Условие (9) должно быть выполнено для совпадения r.h.s. и л.х.с. из уравнения (12).
- Согласно предположению 2, ℜ(Sxx″(x0)) является отрицательно определенной квадратичной формой.
-
Частные случаи
- Если S(x) вещественно для вещественных x и x0, то Ind(-Sxx″(x0)) = 0.
- Если S(x) чисто мнимо для реального x и x0, то Ind(-Sxx″(x0)) = π/4 знак Sxx″(x0).
-
Случай множественных невырожденных седловых точек
- Если S(x) имеет несколько изолированных невырожденных седловых точек, вычисление интегральной асимптотики сводится к случаю единственной седловой точки.
- Разбиение на единицы позволяет построить набор непрерывных функций pk(x) : Ωx → [0, 1], 1 ≤ k ≤ K.
-
Другие случаи
- Если ∆S(z0) = 0 и det Szz″(z0) = 0, точка z0 называется вырожденной седловой точкой.
- Вычисление асимптотики при λ → ∞ и f (x) непрерывной требует теории катастроф.
-
Расширения и обобщения
- Нелинейный метод стационарной фазы/наискорейшего снижения использует асимптотическую оценку решений задач факторизации Римана–Гильберта.
- Нелинейная стационарная фаза была введена Дейфтом и Чжоу в 1993 году.
- Нелинейный метод наискорейшего спуска был введен Камвиссисом, Маклафлином и Миллером в 2003 году.
- Метод Честера–Фридмана–Урселла объединяет седловые точки и равномерные асимптотические расширения.