D-матрица Вигнера
-
Определение D-матрицы Вигнера
- D-матрица Вигнера — унитарная матрица в неприводимом представлении групп SU(2) и SO(3).
- Введена Юджином Вигнером в 1927 году.
- Комплексное сопряжение D-матрицы является собственной функцией гамильтониана сферических и симметричных жестких роторов.
-
Коммутационные соотношения и сферический базис
- Операторы Jx, Jy, Jz образуют алгебры Ли SU(2) и SO(3).
- Оператор Казимира коммутирует со всеми образующими алгебры Ли и может быть диагонализирован вместе с Jz.
- Существует полный набор kets с j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2 для SU(2) и j = 0, 1, 2 для SO(3).
-
Элементы D-матрицы
- D-матрица Вигнера имеет элементы, зависящие от углов Эйлера α, β, γ.
- Элементы d-матрицы связаны с многочленами Якоби Pk(a, b)(cos β).
-
Свойства D-матрицы
- Комплексное сопряжение D-матрицы удовлетворяет дифференциальным свойствам.
- Операторы Jx, Jy, Jz и Px, Py, Pz коммутируют и образуют алгебры Ли.
- D-матрица охватывает неприводимые представления изоморфных алгебр Ли.
-
Ортогональность и симметрия
- Элементы D-матрицы образуют набор ортогональных функций углов Эйлера.
- D-матрица является матричными элементами унитарного преобразования из одного сферического базиса в другой.
-
Связь с другими объектами
- D-матрица связана со сферическими гармониками и многочленами Лежандра.
- Элементы D-матрицы пропорциональны сферическим гармоникам и многочленам Лежандра.
- D-матрица связана с вероятностью перехода при поворотах и функциями Бесселя.